Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Найти интеграл.

1.1. , .

1.2. ,

1.3. , .

1.4. , .

1.5. ,

1.6. , .

1.7. , .

1.8. , .

1.9. ,

1.10. , .

Задача 2. Найти интеграл.

2.1. , .

2.2. , .

2.3. , .

2.4. , .

2.5. , .

2.6. , .

2.7. , .

2.8. , .

2.9. , .

2.10. , .

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

3.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

3.8. .

3.9. .

3.10. .

Задача 4. Найти площадь фигуры, заданной неравенствами.

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

4.5. .

4.6. .

4.7. .

4.8. .

4.9. .

4.10. .

Контрольная работа по теме «Криволинейные интегралы» Теоретическая часть

Существует два вида криволинейных интегралов. По аналогии с обычным определенным интегралом строятся так называемые криволинейные интегралы первого рода. Эти интегралы нашли своё приложение и в геометрии (вычисление площадей цилиндрических поверхностей, длин кривых), и в физике (нахождение массы кривой с переменной плотностью). Но при изучении многих разделов самой математики (дифференциальные уравнения, ТФКП и др.) чаще применяются сведения из теории криволинейных интегралов второго рода.

Поэтому остановимся только на рассмотрении криволинейных интегралов второго рода.

1. Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть в плоскости (XOY) задана спрямляемая кривая (АВ) и вдоль нее определена функция f(x,y). Кривую (АВ) разобьем на n частей произвольным образом точками . На каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Обозначим через и направленные проекции дуги на оси координат, - длина частичной дуги . Обозначим разбиение через T. Составим сумму:

. (1)

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f(x,y) на кривой (АВ) по координате x.

Обозначим через - максимум длин частичных дуг.

Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы при , то есть , если

: .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы при , то он называется криволинейным интегралом по координате x от функции f(x,y), взятым по кривой (АВ). Функция f(x,y) называется интегрируемой вдоль кривой (АВ) по координате x, если для нее вдоль этой кривой существует криволинейный интеграл по x.

Обозначение: . Таким образом, по определению

. (2)

Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции f(x,y) по координате y, взятый по кривой (АВ):

Криволинейные интегралы по координатам x и y называются криволинейными интегралами второго рода.

Определение 3. Если вдоль кривой (АВ) заданы две функции P(x,y), Q(x,y), и существуют и , то сумма этих интегралов также называется криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и обозначается:

.

Замечание. Если на кривой (АВ) поменять направление интегрирования на противоположное, то и знак криволинейного интеграла второго рода также изменится на противоположный. Это происходит потому, что в интегральных суммах изменится на противоположный знак (). Таким образом, криволинейные интегралы второго рода от одной и той же функции f(x,y), взятые по одной и той же кривой (АВ), но в противоположных направлениях, равны по модулю, но противоположны по знаку:

.

Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов второго рода необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений по кривой одно считается «положительным», другое - «отрицательным».

Если кривая интегрирования представляет собой простой замкнутый контур, то за «положительное» направление обхода контура принимается направление против часовой стрелки, за «отрицательное» направление - направление по часовой стрелке. В более сложных случаях за «положительное» направление обхода принимается то направление, при котором область, ограниченная этим контуром, остается всё время слева.

Обозначения интегралов по замкнутому контуру: , .