Приближение вещественных чисел рациональными.

Как уже сказано выше, рациональных чисел счетное множество, а вещественных – континуум, т.е. гораздо больше. Но есть некоторые свойства рациональных чисел, которые позволяют заменять вещественные числа рациональными.

Теорема 1. Для любого вещественного числа а и для любого найдутся два рациональных числа , такие, что:

а) б) .

(Обратите внимание, как может быть записана формулировка этой теоремы:

Правда, короче?)

Доказательство.

Возьмем любое . Т.к. по смыслу мало, то пусть оно имеет вид: Рассмотрим число , равное, очевидно . Пусть а>0. Распишем его:

Предположим, что n–ая цифра после запятой . Рассмотрим числа

Тогда можно сказать, что

а) - рациональные числа, т.к. у обоих из них бесконечные “хвосты” из девяток;

б) , т.к. ;

в) , т.к. у все девятки, а у числа а хотя бы одна цифра не будет девяткой.

г) , т.к. у , а у разности на n-ом месте стоит.

Тем самым, построенные числа удовлетворяют всем условиям теоремы. 

Подумайте сами, что надо изменить в доказательстве, если окажется, что .

Теорема 2. Для любых двух вещественных чисел a и b, не равных друг другу, найдется такое рациональное число r, которое будет расположено между ними.

(веществ. а, b а<b рацион. r a<r<b)

Доказательство.

Пусть для определенности а<b и а>0. Тогда числа а и b имеют вид:

Так как а<b, то найдется такая цифра с номером n,что .

В числе “b” после n-ой цифры могут быть нули, но бесконечного “хвоста” из нулей быть не может, это запрещено. Поэтому b обязано иметь вид

где b_p – первая цифра после следующей за b_n серии нулей, такая, что.

Возьмем r в виде

Тогда ясно, что

а) r – рациональное число, т.к. у него бесконечный “хвост” из девяток;

б) а<r, т.к. а_n<b_n

в) r<b, т.к. (b_p-1)<b_p

Построение r удовлетворяет всем требованиям нашей теоремы.

Указанные две теоремы образуют то, что математики называют “плотностью” рациональных чисел относительно множества вещественных чисел. Это свойство плотности играет важную роль в доказательстве целого ряда теорем.

Терминология. Неравенства.

В заключение этого раздела уточним еще раз некоторые термины.

Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a x b, называется замкнутым отрезком и обозначается [a, b].

Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a<x<b, называется открытым отрезком и обозначается (a, b).

Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a<x b (илиa x<b), называется полуоткрытым отрезком и обозначается (a,b] (соответственно [a, b)).

Модулем |x| числа х называется это же число, взятое со знаком “+”.Очевидно, что всегда

-| x |  x  | x |

Важнейшее в дальнейшем для нас неравенство выглядит так: | x + y |  | x | + | y |. Докажем его.

Имеем: -| x |  x  | x |; -| y |  y  | y |.

Складывая эти неравенства получим:

-(| x | + | y |)  x + y  | x | + | y |,

отсюда и следует, что | x + y |  | x | + | y | 

Отметим еще, что | x – y |  | x | + | y |. Попытка записать это неравенство в виде

| x – y |  | x | -| y | является грубейшей ошибкой. Никогда не допускайте ее!

Отметим еще, что неравенство эквивалентно такой цепочке:

.

Действительно,из следует, что

так как и . Прибавляя ко всем частям этой цепочки неравенств число а, получим .

Итак, запомните эквивалентную запись:

Она будет основной в следующем разделе.

Открытый промежуток называют “окрестностью” числа а (или “окрестностью” точки а).

Далее | Содержание