§ 4.5 Собственные вектора и собственные значения самосопряженных операторов

Определение 1. Собственным вектором линейного оператора , действующего в евклидовом пространстве над числовым полем К, называется ненулевой вектор такой, что для некоторого числа из поля К выполняется .

Число называется собственным числом линейного оператора . Говорят, что собственный вектор принадлежит собственному числу 

Собственный вектор под воздействием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор (умножается на число). Действие оператора - умножение собственных векторов на их собственные числа. Иными словами, если некоторый вектор представляет собой линейную комбинацию собственных векторов, то действие оператора на такой вектор - умножение каждого слагаемого комбинации на собственное число.

Очевидно, что если собственный вектор оператора А, принадлежащий данному собственному числу, умножается на некоторое число, то полученный коллинеарный вектор также будет собственным вектором с тем же собственным числом:

, то .

Определение 2. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора , действующего в евклидовом пространстве и имеющего в базисе матрицу . При этом многочлен от переменной называется характеристическим многочленом оператора в базисе .

Используя приведенные ранее выкладки, легко доказать введенную ранее теорему:

Теорема 1. Для того чтобы число было собственным значением оператора (или собственным числом матрицы А) необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора .

Замечание. Характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса в заданном пространстве, т.е. при переходе от базиса к базису собственные числа не меняются и, следовательно, не меняются и собственные вектора.

Теорема 2. Если собственные числа оператора различны, то отвечающие им собственные вектора линейно независимы и если их число совпадает с размерностью пространства, то они образуют базис.

Теорема 3. Если собственные числа самосопряженного оператора различны, то отвечающие им собственные вектора ортогональны и если их число совпадает с размерностью пространства, то из них можно образовать ортонормированный базис.

Доказательство. Действительно, пусть матрицам А и В операторов отвечают два собственных числа ,  и их собственные вектора X,Y.

Тогда: Х^тАY = Х^т(АY)=Х^т(Y)= ( Х^тY), а с другой стороны

Х^тАY = (Х^тА^т)Y=(АХ)^тY=(X)^тY=(Х^т)Y= (Х^тY).

Иными словами, ( Х^тY)= (Х^тY), а так как , то (X,Y)=0

Комментарий к теореме. Теорема гарантирует, что если собственные числа самосопряженного оператора различны, то отвечающие им собственные вектора будут ортогональными. Возможна ситуация, когда собственные числа самосопряженного оператора будут кратные и отвечающие им собственные вектора будут ортогональными.

Пример. Рассмотрим матрицу А = . Собственные числа найдем из уравнения (3 - )²=0 или ₁=₂==3. Найдем собственные вектора из системы уравнений.

0х₁ + 0х₂ = 0

0х₁ + 0х₂ = 0

Так как ранг матрицы коэффициентов системы равен нулю, то каждой неизвестной присваиваем параметр: х₁=С₁, х₂= С₂.

Для собственного числа ₁= 3 собственный вектор {х₁=С₁, х₂= С₂}

Для собственного числа ₂= 3 собственный вектор {х₁=С₃, х₂= С₄}

Параметры С_i можно подобрать таким образом, что собственные вектора будут не только линейно независимыми, но и образовывать в R² ортонормированный базис.

Заметим, что если взять матрицу А = (т.е. оператор не самосопряженный),то кратным собственным числам ₁=₂==3 будут отвечать собственные векторы вида (С, 0), где С –произвольный параметр. Все такие векторы коллинеарны друг другу и среди них нет линейно независимых.

Определение 3. Базис в евклидовом пространстве, в котором действует линейный оператор , составленный из собственных векторов оператора (если такой базис существует), называется собственным базисом оператора .

Ранее (§4.2) было установлено, что если базис E меняется с матрицей Р на базис F, то матрицы А_е и А_f линейного оператора при переходе к новому базису связаны формулой

( 1 ).

Таким образом, одно и то же линейное преобразование в разных базисах имеет различные матрицы. Естественно возникает вопрос, какому базису соответствует наиболее простая матрица.

Теорема 3. Пусть линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, таков, что его собственные вектора образуют собственный базис. Тогда в этом базисе матрица оператора является диагональной, причем элементами диагонали являются собственные значения линейного оператора .

Доказательство следует из соотношения: Аf_i = f_i , где f_i – вектора собственного базиса.

Если исходную матрицу линейного оператора обозначить А_f, а матрицу, составленная из собственного базиса оператора через Р, то искомая диагональная матрица найдется по формуле (1).

Результат теоремы 2 применим к важному частному случаю линейных операторов, а именно к самосопряженным линейным операторам.

Теорема 4. Пусть А симметрическая матрица самосопряженного оператора в данном базисе . Тогда найдется такая ортогональная матрица С, столбцами которой является собственный базис оператора , что матрица будет диагональной, причем элементами диагонали будут собственные значения, отвечающие собственному базису оператора .

Комментарии к теореме. 1. Построение базиса, в котором самосопряженный оператор имеет диагональную матрицу, называется приведением самосопряженного оператора к каноническому виду

2. Так как для всякой ортогональной матрицы С справедливо равенство С^-1 = С^Т, то выполнено равенство = и в формулировке теоремы можно заменить на