Глава 1 Матрицы и определители

§ 1.1. Матрицы и их основные виды

Определение 1. Вещественной матрицей (прямоугольной) размерности m x n называется совокупность mn вещественных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n называется ее порядком.

Для обозначения матриц приняты прописные латинские буквы, а для обозначения элементов матриц - строчные:

.

Здесь - элемент матрицы ,стоящий в строке с номером и в столбце с номером .

Определение 2. Две матрицы А и В одинаковой размерности m x n называются равными, если при всех .

Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы - побочную (второстепенную) диагональ квадратной матрицы.

Матрицу, состоящую из одного столбца, называют матрицей-столбцом высоты m и обозначают. Матрицу, состоящую из одной строки, называют матрицей-строкой длины n и обозначать .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается  .

Отметим специальные виды квадратных матриц:

1. Квадратная матрица называется верхней треугольной матрицей, если при , т.е. все элементы, расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

2. Квадратная матрица называется нижней треугольной матрицей, если при , т.е. все элементы, расположенные выше главной диагонали равны нулю.

3. Квадратная матрица, у которой при , называется диагональной. Если у диагональной матрицы , то она называется скалярной. И, наконец, если в скалярной матрицы , то она называется единичной матрицей и обозначается символом I.

4. Квадратная матрица А называется симметрической, если а_ij=a_ji ij

5. Квадратная матрица А называется обратно симметрической, если выполнены условия: элементы а_ii = 1  i и а_ij = 1/a_ji  ij.

6. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если выполнены условия: элементы а_ii = 0  I и а_ij = -a_ji  ij.

Определение 3. Матрица размерности n x m называется транспонированной по отношению к матрице размерности m x n, если .

Это определение означает, что столбцы матрицы становятся строками транспонированной матрицы и обратно. Заметим, что для симметрических А квадратных матриц выполнено: А = А^Т

Определение 4. Прямоугольная матрица А вида называется верхней трапециевидной. По аналогии определяется нижняя трапециевидная

Матрицу можно разбить системой вертикальных и горизонтальных прямых на части, которые при этом рассматриваются как матрицы низших порядков и называются блоками или клетками матрицы . Сама матрица, элементами которой служат блоки, называется блочной или клеточной матрицей. Общая запись блочной матрицы имеет вид

,

где - клетка-матрица, расположенная в i-ой клеточной строке и j-ом клеточном столбце.

§ 1.2. Линейное пространство

Определение 1. Совокупность объектов, связанных общим свойством , называют множеством и обозначают А = { a  a_i  a_k }

Определение 2. Множество чисел К, в котором определены четыре арифметические операции и выполнены все соответствующие свойства этих операций называют полем.

Поля образовывают рациональные, вещественные или комплексные числа. Мы будем рассматривать только поле К вещественных чисел.

Определение 3. Пусть задано множество М, для всех элементов которого определены две операции:

-для любых А, В из М сумма А + В принадлежит М

-для любого А из М и k из К произведение kA принадлежит М

и для этих операций выполняются следующие свойства:

1. Для любых А, В из М выполнено А + В = В + А

2. Для любых А, В, С из М выполнено (А + В) + С = А + (В + С)

3. Для любого А из М найдется «О» из М, что выполнено А + О =А

4. Для любого А из М найдется «-А» из М, что выполнено А+(-А)=0

5. Для любого А из М и , из К выполнено ( + )А = А + В

6. Для любых А, В из М и  из К выполнено (А + В) = А + В

7. Для любых А, В из М и , из К выполнено ()А = (А)

8. Для любого А из М найдется 1, что выполнено 1А = А

то множество М называется линейным пространством над полем К.

Замечание.

1). Множество всех функций , определенных и непрерывных на сегменте , образует линейное пространство, еслисложение таких функций и умножение их на вещественные числа определяются по обычным правилам математического анализа.

2). Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей фиксированного натурального числа n, с операциями, определенными по обычным правилам операций над многочленами, образует линейное пространство.