- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Для функционала , заданного формулой , найдите:
- •Функционал задан формулой . Найдите:
- •Дополнительные задания
- •§8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Выясните, является ли фундаментальной последовательность точек метрического пространства , если ряд сходится.
-
Докажите, что метрическое пространство, состоящее из всех функций, непрерывных на прямой и равных нулю вне некоторого интервала, с метрикой не является полным.
-
Верно ли, что пространство всех функций, имеющих на отрезке непрерывную производную -го порядка, с метрикой
является полным?
-
Докажите, что если последовательность точек метрического пространства фундаментальна, то из нее можно выделить такую подпоследовательность , что ряд сходится.
-
Выясните, является ли фундаментальной последовательность функций , где из пространства функций, непрерывных на отрезке с метрикой .
-
Докажите, что в полном метрическом пространстве всякая последовательность непустых замкнутых вложенных () стягивающихся (последовательность радиусов стремится к нулю) шаров имеет непустое пересечение, состоящее из единственной точки.
-
Верно ли, что подпространство непрерывно дифференцируемых функций пространства является полным?
§ 10. Принцип сжимающих отображений
Литература: [1], гл. XVIII, §4.
Задачи настоящего параграфа должны помочь студенту уяснить понятие неподвижной точки отображения, его связь с алгебраическими и функциональными уравнениями, решаемыми «методом неподвижной точки»; а также глубже понять условия, при которых отображения оставляют неподвижными некоторые точки рассматриваемых метрических пространств.
-
Найдите неподвижные точки отображения :, заданного формулой:
а) ;
б).
-
Выясните, имеет ли неподвижные точки отображение , заданное формулой а) ; б).
-
Имеет ли отображение, где E – область определения функции , неподвижные точки?
-
Формулы задают отображение . Найдите его неподвижные точки.
-
Выясните, имеет ли неподвижные точки отображение , заданное формулой: а) ;
б) .
-
Выясните, будет ли сжимающим отображение, описанное в задаче 10.173 .
-
Проверьте, что в пространстве формула задает отображение:
а) отрезка б) отрезка в себя.
Выясните, будут ли отображения сжимающими.
-
Проверьте, что в пространстве формула отображает отрезок в себя. Будет ли это отображение сжимающим?
-
Выясните, является ли в пространстве сжимающим отображение луча в себя, заданное формулой .
-
Выясните, является ли отображение, описанное в задаче 10.174, сжимающим.
-
Докажите, что отображение , заданное формулой , является сжимающим.
-
Выясните, будут ли сжимающими отображения, описанные в задаче 10.172 .
-
Пусть – полное метрическое пространство и задано отображение . Известно, что для выполняется соотношение . Справедлива ли теорема Банаха для таких отображений?
-
а) Докажите, что если функция отображает отрезок в себя, дифференцируема на этом отрезке и для , то уравнение имеет на единственное решение. б) Будет ли справедливо приведенное утверждение для всей числовой прямой?
-
Докажите, что уравнение имеет на отрезке единственное решение.
-
Для определения точки орбиты, в которой находится спутник в указанный момент времени, приходится решать уравнение Кеплера . Докажите, что при любом и уравнение имеет единственное решение.
-
Отображение, описанное в задаче 10.173, не имеет неподвижных точек. В то же время оно является сжимающим (результат решения задачи 10.176). Нет ли здесь противоречия с теоремой Банаха?
-
На луче задана функция . Покажите, что
а) ;
б) отображение, осуществляемое данной функцией, не имеет неподвижных точек. Нет ли здесь противоречия с теоремой Банаха?