![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Для функционала , заданного формулой , найдите:
- •Функционал задан формулой . Найдите:
- •Дополнительные задания
- •§8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Докажите теорему: числовая функция, определенная и непрерывная на некотором компакте, ограничена и принимает на нем свои наименьшее и наибольшее значения.
-
Является ли компактным множество многочленов в пространстве
?
-
Докажите, что замкнутый единичный шар
не является компактом в пространстве
.
-
Докажите, что если любая последовательность непустых вложенных друг в друга замкнутых подмножеств множества М имеет непустое пересечение, то М – компакт.
-
Докажите, что если F1 и F2 - компакты в метрическом пространстве, то существуют две точки
и
такие что
.
-
Докажите, что в пространстве
замкнутый шар с центром в точке (0, 0, …,0, …) радиуса 1 ограничен, но не является компактом.
-
Докажите, что декартово произведение
метрических пространств X и Y является компактом тогда и только тогда, когда пространства X и Y являются компактами.
-
Докажите, что пресечение любой совокупности компактов является компактом.
-
Докажите, что объединение конечной совокупности компактов является компактом.
-
Докажите, что множество функций
является компактом в пространстве
.
-
Докажите, что метрическое пространство всех ограниченных последовательностей действительных чисел
, в котором расстояние определяется формулой
, не является компактным.
§ 9. Полные метрические пространства
Литература: [1], глава III, § 4.
Задачи этого параграфа помогут студенту глубже усвоить понятия фундаментальной последовательности и полного метрического пространства.
Часть задач связывает материал данного параграфа с материалом §5 и §8, что позволит студенту посмотреть на свойства полных метрических пространств с разных точек зрения.
9.149.
Приведите примеры фундаментальных
последовательностей в пространстве:
а)
;
б)
.
9.150.
Докажите, что следующие последовательности
в пространстве
являются фундаментальными:
а);
б)
;
в)
,
где
- множество простых чисел.
9.151.
Выясните, является ли
фундаментальной
последовательность
в пространстве: а)
;
б)
?
9.152.
Выясните, являются ли фундаментальными
в пространстве
следующие последовательности:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
9.153.
Докажите, что если ряд
сходится, то последовательность
является
фундаментальной.
9.154.
Студент, проверив, что некоторая
последовательность пространства
не
имеет предела, заключил, что в таком
случае эта последовательность не
является и фундаментальной. Верно ли
такое заключение?
9.155.Выясните,
является ли фундаментальной
последовательность
в пространстве
.
9.156.
Выясните, являются ли фундаментальными
в пространстве
,
где
,
последовательности: а)
;
б)
;
в) любая последовательность с попарно
различными элементами.
9.157.Является
ли фундаментальной последовательность
функций
в пространстве ограниченных на числовой
прямой функций с метрикой
.
9.158.Студент
дал следующее определение фундаментальной
последовательности: последовательность
называется фундаментальной, если при
любом
.
Верно ли это определение?
9.159.Докажите, что всякая фундаментальная последовательность ограничена.
9.160.Докажите,
что если некоторая подпоследовательность
фундаментальной последовательности
сходится к
,
то и сама последовательность
сходится к тому же пределу
.
9.161.Пространство
-
пространство изолированных точек (
-
произвольное множество,
)
. Установите, какие последовательности
в этом пространстве являются
фундаментальными.
9.162.
Выясните, является ли пространство
,
описанное в предыдущем примере, полным.
9.163. Докажите, что всякое компактное метрическое пространство полно.
9.164. Используя результаты предыдущей задачи и задач § 8, приведите примеры полных метрических пространств.
9.165. Докажите, что замкнутое подпространство полного метрического пространства полно.
9.166. Используя известные Вам примеры полных метрических пространств и результат предыдущей задачи, приведите несколько примеров полных метрических пространств.
9.167.Доказать,
что пространство натуральных чисел
с метрикой
является полным.
9.168.
Является ли полным подпространство
целых чисел пространства
9.169.
Выясните, является ли полным пространством
числовая прямая с метрикой
.
9.170.
Докажите, что если подмножество
метрического пространства
,
рассматриваемое как самостоятельное
метрическое пространство (с метрикой,
заимствованной из
),
является полным пространством, то
- замкнутое множество.