Теорема 8.2.

{ Множество натуральных чисел является диафантовым }



{ Это множество натуральных чисел является множеством всех натуральных значений, принимаемых некоторым полиномом с целыми коэффициентами при натуральных ( или целочисленных) значениях переменных.}



При n = 1 рассмотрим некоторое диафантово множество.

1. Необходимость.

Докажем, что уравнение

1. D(a, x₁,…, x_n ) = 0

имеет решение в Xⁿ тогда и только тогда, когда уравнение

2. (x₀ + 1)(1  D²(x₀, Xⁿ )) = a + 1

имеет решение в ( x₀, x₁, … , x_n).

а) Рассмотрим любое решение уравнения (1). Тогда в уравнении (2) при x₀ = a 1  D(a, x₁, … , x_n) = 1, т.е. решение уравнения (1) является и решением уравнения (2).

б) Рассмотрим любое положительное значение полинома P = (x₀ + 1)(1D²(x₀, x₁, …, x_n))  1 при натуральных значениях переменных. Оно может быть больше нуля только при D = 0., т.е. при x₀ = a.

Т.е. P > 0  D = 0  x₀ = a.

2. Достаточность.

Надо показать, что множество всех натуральных значений полинома есть диафантово множество.

Пусть A = {a | Q(x₁,…, x_n) }, A  N, где Q  это абстрактный полином. Чтобы показать, что A  диафантово, напишем его диафантово представление:

a  A   Xⁿ [ Q(Xⁿ)  a = 0 & a  0]

Так как Q(Xⁿ)  a = 0  диафантово множество, a  0  диафантово, то, по теореме 8.1, их пересечение также является диафантовым.



Определение.

Свойство P натуральных чисел является диафантовым свойством, если диафантовым является множество чисел, обладающих свойством P.

Диафантово представление свойства P: P(a)  диафантово   Xⁿ [ D(a, Xⁿ) = 0 ].

Определение.

Отношение R называется диафантовым отношением, если диафантовым является множество чисел, определяющих данное отношение.

R(a₁, … , a_n)  диафантово   X^m [ D(Aⁿ, X^m) = 0 ].

( Отношение есть подмножество множества кортежей. )

Определение.

Функция f называется диафантовой , если диафантовым является множество чисел, определяющих данную функцию.

a = f(b₁, … , b_n)  диафантова   X^m [ D(a, Bⁿ, X^m) = 0 ].

Пример.

а) Свойство четности.

Even(a)   x [ a = 2x ]  его диафантово представление.

б) Отношение неравенства.

a  b   x [ x +1 = (a  b)²], xN.

в) Свойство “меньше”.

a < b   x [ b = a + x + 1], xN.

г) Свойство делимости.

a  b   x [ a = bx ] , xN.

д) Остаток от деления.

a = rem(b,c)  остаток от деления b на c.

a = rem(b,c)  a < c & (b a)  c

е) НОД.

a = НОД(b,c)  bc > 0 & ba & ca &  x,y [ a = bx  cy]

ж) НОК.

a = НОК(b,c)  bc = a * НОД(b,c).

з) a не является степенью двойки ( т.е. нечетный сомножитель S(a))   x [ a = xb & odd(x) & x>1]

(odd(a)   x [a = 2x + 1] ).

и) S(a)  a является степенью двойки.

В 1970 году была установлена диафантовость всех рекурсивно перечислимых множеств.

Замечание.

Любое множество, которое можно формально описать, является диафантовым. Следовательно, любое конечное множество натуральных чисел является диафантовым.

Как это показать?

Пример.

Пусть A = { 2; 5; 7}.

Возьмем полином a[ (a2)² (a5)² (a-7)²=0 ]  это его диафантово представление.

Любое количество натуральных чисел можно представить в виде множества значений какого-либо полинома.

P: (a+1)[1- (a2)² (a5)² (a-7)²]  1 (из того, что было ранее).

Здесь и переменные, и полиномы принимают натуральные значения. От натуральных значений переменных можно избавиться, а от натуральных значений полиномов  нет.

Замечание.

Никакое конечное множество, содержащее более одного элемента, не может быть представлено в виде всех значений полинома при натуральных или целочисленных значениях аргумента. ( Как только мы введем переменные, у нас появится неограниченность.)