Алгоритм 3.1.

Вход. r₀, r₁,..., r_n, где r_{i -1} и r_i - числа строк и столбцов матрицы M _i.

Выход. Минимальная сложность умножения матриц M_i в предположении, что для умножения (pq)-матрицы на (qr)-матрицу требуется pqr операций.

Метод:

begin

for i = 1 to n do m_ii = 0;

for l = 1 to n-1 do

for i = 1 to n-1 do

begin

j = i+l;

m_ij = MIN (m_ik+m_k+1,j + r_i-1r_kr_j);

ik<j

end;

write m_1n;

end

m_1n - стоимость пути.

Для того, чтобы получить порядок, в котором можно производить умножения, надо приписать каждой клетке таблицы то значение k , на котором достигается минимум в (*).

§ 4. Редактирующее расстояние

Задача.

Определение слова, похожего на какое-то слово. ( Распознавание ошибки в написании слова и предложение вариантов ее исправления).

Разрешены операции:

• забыть букву,

• вписать лишнюю букву,

• перепутать букву.

Чтобы определить похожие слова, надо ввести понятие расстояния между словами  (s₁, s₂).

Затем опрашивается база данных и выдается либо слово из базы данных, полностью совпадающее с проверяемым словом s, либо множество слов {q |  (q,s)  k}, где k­  фиксированное число.

Стоимость каждой операции над словом 1.

Лемма.

 (s₁, s₂) =  (s₂, s₁) (    )



Для любой из перечисленных операций существует обратная:

вставка  удаление

замена  обратная замена



Таким образом мы показали, что   это метрика:

1.  (s₁, s₂)  0

2.  (s₁, s₂) =  (s₂, s₁) ( условие леммы )

3.  (s₁, s₂)   (s₁, s₃) +  (s₃, s₂)

Веса команд (их относительная стоимость) несущественны.

Можно ввести некую функцию, определяющую часоту ошибок.

Например, i  e  часто встречающаяся ошибка, z  b  редко встречающаяся.

Необходимо эффективно находить расстояние  . Из одного алфавита можно перейти к другому и вычислять расстояние там, а потом вернуться назад в исходный алфавит. В данном случае сложность поиска  даже больше, чем O(log₂ n).

Варианты поиска:

1. перебор  время  exp (долго ).

2. методы динамического программирования  более короткий способ.

Пример.

Пусть X = Aa, Y = Bb.

Пусть есть три способа получить X  Y:

1. Aa  B & b

2. A  Bb & a - удаление a

3. A  B & a  b

Алгоритм 4.1.

Вход. Две строки a₁... a_k , b₁...b_k

Выход

1. Строится таблица M = {m_ij}, i = 1..k, j = 1.. m, где m_ij =  ( a_i , b_j).

Варианты вычисления элементов таблицы:

а) m_ij = MIN ( m_i,j-1+1; m_i-1,j+1; m_i-1,j-1 +  (b_ia_j ) ) ,

б)

Таблица должна быть симметричной!

2) Ищется минимальный по времени и стоимости путь.

Сложность алгоритма O(mn)  размер матрицы  стоимость операций ( = 1).

Если взять другие разрешенные операции:

• { удаление, перестановка }  универсальная переборная задача.

• { вставка, удаление, замена, перестановка }  полиномиальная.

Задача.

Найти n^1/2

Алгоритм 4.2.

1) Самый простой: идем снизу, пока квадрат числа не достигнет (n+1)

a = 0;

while (a+1)²  n do a++;

Сложность алгоритма O(n^1/2).

2) Аналогия быстрого умножения.

a = 0;

d = n;

repeat

d = d/2;

if ((a+d)²  n) a + = d;

until (d == 1);

Сложность алгоритма O(log₂ n), так как d каждые два шага уменьшается в 2 раза.

Корректность.

Надо показать, что ряд ₀⁰ k/2 + ₁⁰  k/2 / 2 + ... + _s⁰1 может принимать любые значения в диапазоне [0, k-1].