8. Розміщення з повтореннями: означення, обчислення, приклади.

Означення. Розміщенням з повтореннями зелементів по елементів називається -елементне розміщення в випадку ,коли основна множина містить різних елементів, по скільки завгодно екземплярів кожного.

Число розміщень з повтореннями з елементів по позначається . Обчислюється за формулою:

Приклад. Скільки трицифрових чисел можна записати, використовуючи цифри 2,4,5,7?

Розв’язання. Оскільки мова йде про розміщення з повтореннями з 4 елементів по 3, то (числа).

9. Число елементів булеана скінченної множини.

Теорема. (про число елементів булеана скінченої множини). Число всіх елементів булеана -елементної множини дорівнює .

Доведення. Нехай в множині міститься елементів. Перенумеруємо їх: . Зашифруємо кожну підмножину множини за допомогою набору довжини з 0 та 1: будемо писати на деякому місці 1, якщо елемент з даним номером входить у підмножину, і 0, якщо не входить. (Наприклад, якщо , то (0,1,1,0,1) є підмножина ; (1,0,0,0,0) - {x₁}; (0,0,0,0,0) - Ø; (1,1,1,1,1) - X.)

Тому, знайти число підмножин - елементної множини - це одне й те саме, що знайти число наборів довжини , які складені з елементів двохелементної множини {0,1}. За формулою (6) число таких наборів є . Значить, число підмножин -елементної множини Х дорівнює .□

10. Комбінації з повтореннями: означення, обчислення, приклади.

Означення. Комбінацією з повтореннями з елементів по елементів називається -елементна комбінація у випадку, коли основна множина містить різних елементів, по скільки завгодно екземплярів кожного.

Число комбінацій з повтореннями з елементів по елементів позначається . Обчислюється за формулою:

.