9. Відношення порядку

Означення. Відношення називається відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

Відношення нестрогого порядку є узагальненням відношення на множині натуральних чисел , тому можна легко перевірити властивості цього відношення:

1) рефлексивність:

2) антисиметричність: ;

3) транзитивність:

Означення. Відношення називається відношенням строгого порядку, якщо воно антирефлексивне, асиметричне і транзитивне.

Відношення строгого порядку є узагальненням відношення на множині натуральних чисел , тому можна легко перевірити властивості цього відношення:

1) антирефлексивність:

2) асиметричність: ;

3) транзитивність:

Обидва типи відношень називаються відношенням порядку.

Тема 2. Елементи комбінаторики

1. Поняття комбінаторної задачі

Комбінаторними називаються задачі визначення кількості можливих комбінацій елементів даної множини, які є різними в деякому розумінні. Комбінаторні задачі пов’язані з вибором та розташуванням елементів дискретної множини у відповідності з заданими правилами.

2. Правило суми. Принцип включення і виключення.

Правило суми дозволяє знайти кількість елементів в об’єднанні скінчених множин.

Нехай задані дві скінченні множини и . Знайдемо, скільки елементів містить об’єднання .

Можливі два випадки:

1. Якщо Ø, то

Кількість елементів об’єднання двох множин, які не перерізаються, дорівнює сумі кількостей елементів в кожному з них.

Правило суми на мові теорії множин формулюється так: Якщо множина містить елементів, а множина - n елементів, і ці множини не перерізаються, то містить елементів.

Правило суми на мові комбінаторики формулюється так: якщо елемент можна вибрати способами, а елемент - іншими способами, причому вибори і є взаємно виключними, то один з елементів або можна вибрати способами.

Приклад 1. Нехай , тоді

містить 4+3=7 элементів.

2. Якщо ø, то .

Кількість елементів об’єднання двох множин дорівнює сумі кількостей елементів в кожному з них, зменшеній на кількість елементів перерізу цих множин.

Нехай задані множин . Якщо відомі потужності цих множин і відомі потужності їх перерізів, то справедлива наступна формула, яка називається принципом включення і виключення:

Приведемо формулу для кількості елементів в об’єднанні трьох множин:

якщо , то

3. Правило добутку

Правило добутку дозволяє визначити кількість елементів в декартовому добутку двох, трьох і більше множин.

Кількість елементів декартового добутку двох множин дорівнює добутку кількостей елементів в кожному з них.

Правило добутку на мові теорії множин формулюється так: якщо множина містить елементів, а множина - n елементів, то містить елементів.

Правило добутку на мові комбінаторики формулюється так: якщо елемент можна вибрати способами, а елемент - іншими способами, то вибір впорядкованої пари можна здійснити способами.

Приклад. Скільки двозначних чисел можно скласти з цифр 1, 2, 3 ?

Оскільки запис числа – це впорядкована пара, то в задачі йде мова про кількість способів вибору цієї пари. Першу компоненту пари (цифру десятків) можна выбрати трьома способами, другу (цифру одиниць) – також трьома. Тоді, згідно з правилом добутку вибір пари двозначного числа може бути здійснений способами.