3. Відношення між множинами. Діаграми Ейлера-Венна.

Між множинами існують відношення включення та рівності.

Означення. Множина називається підмножиною множини , якщо кожен елемент множини належить множині .

Наприклад: , , - підмножина .

Позначення: - « включається в А», – знак нестрогого включення.

Якщо и , то називається власною, строгою чи істинною підмножиною . Позначення: , - знак строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини і .

і називаються невласними підмножинами множини .

Зауваження. Слід підкреслити відмінність між відношенням належності і відношенням включення . Як вже зазначалося, множина може бути своєю підмножиною , але не може входити до складу своїх елементів (). Навіть у разі одноелементної множини розрізняють саму множину та її єдиний елемент .

Означення. Множини і називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів.

Приклад.

Множини і рівні (=), якщо і :

= і

Означення. Множина, елементами якої є всі підмножини множини і тільки вони, називається множиною підмножин або булеаном множини і позначається .

У разі скінченної підмножини , що складається з елементів, множина підмножин містить елементів.

Приклад. Розглянемо утворення булеана множини: :

Перша й остання підмножини невласні, інші – власні.

Множини і відношення між ними зручно задавати графічно за допомогою так званих діаграм Ейлера-Венна. Множина зображається замкненою кривою довільної форми (найчастіше – кругом). Точки, які лежать всередині замкненої кривої, можна розглядати як елементи відповідної множини. Діаграму Ейлера-Венна можна розглядати як окремий випадок задання множини переліком його елементів. В цьому випадку всередині діаграми Ейлера-Венна можуть бути зображені символічні позначення елементів.

Наприклад:

Вже в означенні конкретної множини явно або неявно обмежується сукупність об’єктів, що є допустимими (натуральні числа – серед цілих, корови – серед тварин). Тому зручно сукупність допустимих об’єктів зафіксувати.

Означення. Множина, підмножинами якої є всі множини, що розглядаються, називається універсальною множиною або універсумом і позначається .

На діаграмах Ейлера-Венна універсальна множина зображується у вигляді прямокутника.

Наприклад:

а d

В c

задані множини , b e

Порожня множина має властивість: при будь-якому . Універсальна множина має властивість: при будь-якому . При цьому під розуміють множину всіх елементів, які розглядаються в даній задачі.

4. Операції над множинами

Означення. Об'єднанням двох множин і називається множина , яка складається з усіх їхніх елементів, що належать хоча б одній з множин , :

Об’єднання складається з усіх елементів множини , усіх елементів множини і не містить ніяких інших елементів.

Приклади:

1. , , ;

2. , , ;

3. {парні числа}, {непарні числа }, .

Означення. Перерізом двох множин і називається множина А∩B, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, що належать і , і В:

Приклади:

1. , , ;

2. , , ;

3. , ,

4. {прямокутники}, {ромби}, {квадрати}

Різні випадки перерізу й об'єднання множин покажемо на діаграмах Ейлера-Венна:

Означення. Різницею множин і (доповненням множини В до множини А) називається множина (), яка складається з усіх тих елементів множини , які не належать :

Приклади:

1. , , , ;

2. , , ;

3. , {непарні числа}, {парні числа}.

Геометрична ілюстрація:

Означення. Різниця універсальної множини і будь-якої її підмножини А називається доповненням множини А до універсальної . Позначається .

Геометрична ілюстрація:

Означення. Симетричною різницею множин і називається різниця об’єднання і перерізу множин і (виключне "АБО"), яка позначається .

Приклади:

1. , , =

.

Геометрична ілюстрація:

За умовчанням приймається пріоритет операцій: .

Використовуючи операції ∩¸ ¸ \¸ можна виражати одні множини через інші, при цьому спочатку виконується , потім ∩, а потім чи \ або . Для зміни цього порядку у виразі використовують дужки.

Приклад. Нехай ; ; ; .

;

;

.