matan_2013

Билет 7. Функционалы с производн высшего порядка (ур-ние Эйлера-Пуассона).

Рассм случ, когда интеграл содерж производн искомой функц выше первого порядка:

Как и в случае с простым функционалом (см. Билет 5), построим близкую кривую , подставим в интеграл (1), продифференц по и положим .:

Преобразуем все слагаемые правой части, кроме первого, интегрируя несколько раз по частям:

Мы считаем, что и её производн до порядка обращаются в нуль на концах ю Вследствие этого внеинтегральные члены пропадут; приравнивая к нулю , получим условие:

которое, в силу основной леммы Дюбуа-Реймона, приводит нас к следующему уравнению Эйлера:

Это есть диф ур порядка . Его общий интеграл содержит произвольн пост, и мы должны иметь ещё предельн услов. В простейшем случ эти услов сводятся к заданию функц и её производных до порядка на концах промежутка . Из этих предельн услов и вытекает, что аналогичн величины для должны обращаться в нуль. Отметим ещё, что мы считаем непрерывн все те функц, котор входят в предыдущ формулы, так что, например, искомую функц мы считаем принадлежащей классу функц, непрерывных со своими производными до порядка .

Билет 8. Функционалы от многих переменных (уравнение Остроградского-Гаусса).

Рассм двойной интеграл: где и частные производн функц . Ищется функц , непрерывн со своими производн до второго порядка в области , имеющая заданные знач на контуре этой области и дающая экстремум функционалу (1). Составляем близкие функц где – произвольн функц, обращающаяся в нуль на . Подставляя эту функц в интеграл (1), диф-руя по и полагая , получ выраж первой вариации функционала: Преобразуем последние два слагаем, пользуясь известной ф-лой Римана: следующим образом: Т.о. выражение первой вариации: Для экстремума необх, чтобы эта первая вариация обращалась в нуль, или, принимая во внимание, что на равно нулю, мы можем утверждать, что двойной интеграл, стоящий в правой части (2), должен равняться нулю, а отсюда, в силу основной леммы Дюбуа-Реймона, мы получаем для искомой функции , дающей экстремум функционалу (1), следующее ур-ние Остроградского-Гаусса: или в раскрытом виде: получили ур-ние с частн производн второго порядка, котор должно быть удовлетворено внутри области . Предельн услов явл задание на контуре .

Билет 9. Канонический вид уравнений Эйлера.

Канонич вид ур-ния Эйлера можно получить, перейдя к канонич переменным.

Рассм случай трёхмерного пространства, когда основной интеграл имеет вид:

Ур-ния Эйлера для этого интеграла:

представляют собой сист двух ур второго порядка. Введём вместо и новые переменные и по формулам: причём написанные ур-ния разрешимы относительно и , т.е. что соответствующ функциональный определитель отличен от нуля: Введём ещё вместо новую функцию : и будем считать H выраженной через новые переменные и . Определим частн производн от функц по последним четырём переменным: или, в силу (3): Точно так же при помощи простого дифференцирования получим: Т .о., вместо двух ур-ний второго порядка (2) мы можем в новых переменных написать сист четырёх уравн первого порядка для функц независимой переменной : Система (6) называется канонической системой Эйлера. Из формул (4) и (5) непосредственно получается выражение подинтегральной функции функционала через функцию :

Билет 10. Вариационные задачи с подвижными концами.

Положим, что мы ищем экстремум интеграла причём левый конец искомой кривой закреплён, т.е. на левом конце имеется предельное условие , а на правый конец никакого условия не наложено, кроме того этот конец должен находиться на прямой , параллельн оси . Покажем, что на таком свободн конце должно быть также выполнено некотор предельн услов, котор непосредственно получится из услов экстремума интеграла (1). Действит, если некотор кривая даёт экстремум интегралу (1) по сравнению со всеми близкими кривыми со свободн прав концом, то тем более она даёт экстремум интегралу (1) при услов закрепления правого конца. Но тогда она должна удовлетворять ур-нию Эйлера, т.е. быть экстремалью интеграла (1). общее выражение первой вариации интеграла (1): Эта первая вариация должна обращаться в нуль. Член, содержащ интеграл, равен нулю, поскольку функц , должна и в этом случае удовлетворять ур-нию Эйлера. Внеинтегральный член должен обращаться в нуль при , так как этот конец является закреплённым. Т. о., равенство нулю первой вариации приводит нас к равенству при . На свободном конце может быть произвольным, и окончательно мы получаем на свободном конце след предельн услов: Оно даёт нам некоторую связь между и на свободн конце. Нетрудно проверить, что для интеграла (1) условие (2) будет иметь вид , т.е. в случае интеграла (1) оно сводится к требованию, чтобы на конце экстремаль была перпендикулярна к прямой . Предельное условие (2) называется обычно естественным предельным или граничным условием.

Билет 11. Вариационные задачи с подвижными границами. Условия трансверсальности.

При рассмотрении естественных предельн услов мы считали, что конец экстремали может перемещаться по прямой или , параллельн оси . Положим теперь, что он может перемещаться по любой заданной линии на плоск . Для определённости будем считать, что лев конец закреплён, а правый может перемещаться по . Рассуждая, как в Билете 5, докажем, что если некотор кривая даёт экстремум интегралу, то она должна удовлетвор ур-нию Эйлера, т.е. быть экстремалью. Первая вариац должна обращаться в нуль: слагаемое, содержащ знак интеграла, будет равно нулю в силу ур-ния Эйлера, а внеинтегральный член при будет равен нулю в силу условия закрепления конца. Т. о., равенство нулю первой вариации приводит нас к следующ услов на подвижном конце: где и – проекции на коорд оси бесконечно малого перемещен вдоль кривой . Если бы мы считали оба конца подвижными, то получили бы на обоих концах предельн условие (1). Достаточно повторить предыдущ рассужден, помня, что если кривая даёт экстремум интегралу при подвижн концах, то тем более она даёт экстремум при неподвижн концах или при неподвижн одном конце.

Обозначая через угловой коэфт касательной к кривой , можем переписать услов (1) в виде: т. о. это условие, называемое обычно условием трансверсальности, устанавливает связь между угловым коэф касательной к экстремали и угловым коэф касательной к кривой в каждой точке этой кривой. Если ур-ние задано в неявной форме , то условие трансверсальности может быть переписано в виде:

Билет 12. Экстремали с угловыми точками.

В некотор случ оказывается, что среди линий, обладающ непрерывно меняющейся касат, нет такой, котор даёт экстремум некотор функционалу, и возникает вопрос, нельзя ли получить решен среди линий более общего класса, например, среди линий, котор в отдельных точках не имеют касательн, но имеют всё же определён касат слева и определён касат справа (линии с угловыми точками). для случая простейшего функционала Рассм сначала функционал вида: причём искомая экстремаль должна проходить через точки и . Для любой такой кривой функционал (2) будет положит. Построим линию, состоящиз двух отрезков прямых линий и соединяющую точки и , а именно, образуем ломанную линию , проходящ через нач коорд (т. O) плоскости . функционал (2) для взятой ломаной линии обращается в нуль, так как вдоль отрезка , а вдоль отрезка . Эта ломаная линия, имеющая угловую точку в начале координат, будет давать экстремум интегралу (2).

для общего случая: Положим, что некотор линия, соединяющ точки и и имеющая одну угловую точку , даёт экстремум функционалу (1) по сравнению с другими, к ней достаточно близкими кривыми, котор также могут иметь углов точку и должны проходить через заданные точки и . можем считать закреплёнными не только конечные точки, но и точку , котор явл углов точкой для исследуем кривой. Эта кривая при этом предположении тем более должна давать экстремум интегралу (1). Отсюда следует, что участки кривой, соответствующ промежуткам и оси , должны являться экстремалями задачи, т.е. должны удовлетв соответств ур-нию Эйлера. Определим вариацию интеграла (1), приняв нашу кривую за исходную и разбивая весь промежуток на две части и .

Т.к. концы кривой закреплены, и оба участка кривой удовлетв ур-нию Эйлера, получим след выраж для этой первой вариации:

Ввиду произвольности и , получаем следующ два условия, котор должны выполняться в угловой точке нашей кривой, если эта кривая даёт экстремум интегралу (1): Эти услов наз услов Вейерштрасса-Эрдмана.

условия (3) сводятся к требованию непрерывности выражений и в той точке , в котор имеет скачок. Эти выраж будут непрерывными в остальных точках, где - непрерывна. Положим, что нам удалось построить общий интеграл ур-ния Эйлера. Значения двух произвольн постоянн, входящих в этот интеграл, будут, вообще говоря, различными для промежутков и . Пусть - общий интеграл для промежутка и - для промежутка надо определить пять постояннх, а именно значен произвольн постоян и абсциссу (значение ) точки излома. имеем два предельных услов при и , а также два услов (3). Недостающее пятое равенство мы получим из услов непрерывности кривой при :