matan_2013

Билет 1. Понятие об интегр преобразов. Преобразов Лаплпаса. Интегральн преобраз явл мощным средством для решения диф ур и систем диф ур.

Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция действительного аргумента , удовлетворяющая условиям:

интегрируема на любом конечном интервале оси (локально интегрируема);

Для всех отрицательных :

возрастает при не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные и , что для всех

Нижняя грань всех чисел , для которых справедливо неравенство выше, называется показателем роста функции .

Простейшей функцией оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда

Очевидно,

так что если удовлетворяет условиям 1 и 3, то удовлетворяет всем условиям, налагаемым на функции-оригиналы.

Изображением функции по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством

Тот факт, что есть изображение , будем символически записывать так:

Функция определена в полуплоскости и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Свойство линейности. Для любы комплексных постоянных и (Здесь и всюду в дальнейшем считаем ).

Теорема подобия. Для любого постоянного

Теорема запаздывания. Если , то для любого положительного Теорему запаздывания удобно использовать при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются разными аналитическими выражениями.

Теорема затухания (смещения). Если , то для любого комплексного

Билет 2. Интегрир и дифференц оригиналов и изображ. Свёртка функц, её изображ.

Интегрирование и дифференц оригиналов и изображ относятся к свойствам преобразования Лапласа.

Дифференцирование оригинала. Если функции являются функциями-оригиналами, и , то где под понимается

Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на оригинала

Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на , то есть если , то

Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции :

Теорема умножения (теорема о свёртке). Произведение двух изображений и также является изображением, причём Интеграл в правой части выражения называется свёрткой функций и и обозначается символом .

Билет 3. Ф-ла Дюамеля. Применение преобразов Лапласа к реш диф ур.

Если функция непрерывна на , а функция непрерывно дифференцируема на и

То Отсюда по теореме о дифференцировании оригинала

Это – так называемая формула Дюамеля.

Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами -го порядка при нулевых начальных условиях Допустим, что известно решение уравнения

с той же левой частью и правой частью, равной единице при условиях (3). Переходя к операторным уравнениям, будем иметь ( – известный многочлен от )

для (2) и

для (4). Из (5) находим а из (6) откуда Согласно формуле (1)

Учитывая, что получаем Отсюда решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях (3) будет иметь вид где – решение задачи (4)-(3

Билет 3(продолжение

)Примен преобраз Лапласа для решения диф ур и сист диф ур

процесс реш ДУ или сист ДУ сводится к переводу оригиналов уравнений в эквивалентные изображения этих уравнений, а затем нахождения изображений неизвестных переменн, после чего найденные изображ переводятся обратно в оригиналы. При этом используются св-ва преобразов

Лапласа о дифференцировании. Интегралы Френеля

Обращение преобразов Лапласа. Обратное преобраз Лапласа функц комплексной перемен есть функц , для которой преобраз Лапласа есть . Не каждая функция имеет обратное преобразование Лапаласа.

Теорема обращения. Пусть тогда в каждом открытом интервале, где ограничена и имеет конечное число точек макс, мин и точек разрыва

Теорема разложения. Если – аналитич функц в окрестн бесконечно удалённой тчк и равна в ней нулю, и если лорановское разложение в окрестн бесконеч удалённой точки имеет вид то оригиналом служит функция причём этот ряд сходится при всех .

Билет 4. Классич зад вариац исчислен (задача Дидоны, задача о брахистохроне и т.д.).

Зада́ча Дидо́ны — исторически первая задача вариационного исчисления. Связана с древней легендой об основании города Карфагена.

Задача сводится к нахождению экстремума функционала

с граничными условиями , и при фиксированном параметре (длине)

 и  просто точки закрепления каната. Решением явл дуга окружн, если концы нельзя двигать по побережью, и полуокружн в противном случае.

Задача о брахистохроне Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащих в одной вертикальной плоскости (В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной с отрицательной полуосью OY, материальная точка достигнет В из А за кратчайшее время Пусть имеются две произвольн точки, располож на разных ординатах. пусть произвольн материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действ только силы тяжести. Найдем такую траекторию, при котор время скатывания будет миним. Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

, где

 — масса тела,

 — ускорение свободного падения,

 — ордината,

 — скорость движения тела.

Получаем: ,

откуда:.

Поскольку время на спуск равняется , то задача сводится к минимизации значения интеграла .

Задача о кратчайшем времени прохожден светом пути по заданной траектории

Пусть имеется неоднородн, изотропн среда, в кажд точке  (x, y, z) котор определена скорость распространен света v(x, y, z), зависящ от изменен по объему преломляющих св-в среды.  Время распространен света из одной точки в др явл функц от линии его распространен и определяется интегралом   где  ds  – элемент длины линии. Выбирая в кач параметра линии переменную  x, получ   Математич выр-ние принципа Ферма сводится к тому, что реальное движ света происх вдоль такой линии, для котор время  T  движ миним.

Билет4(продолжение2) Для того, чтобы кривая давала экстремум функционалу , необходимо, чтобы данная кривая удовлетворяла диф ур Эйлера:где – частн производн от функц , задающей кривую. Лемма Лагранжа Если интегралгде – фиксир непрерывн в промежутке функц, обращается в нуль для всякой функц , непрерывн вместе со своей производн и равной нулю на концах , то тождественно равна нулю в промежутке . Лемма Дюбуа-Реймона

Пусть и непрерывны на и для любой бесконечно диф-мой на функц , непрерывн вместе со своей производн и равной нулю на концах , выполнено равенство

Тогда непрерывно диф-ма на , и на .

Билет 4(продолжение1)Диф-ное исчислен в нормированных пространствах

Пусть дан некотор класс функц . Если кажд функц по некотор закону поставлено в соотв определённое число , то говорят, что в классе определён функционал , и пишут . Класс функций , на котор определён функционал , назыв областью задания функционала.

Если приращ функционала

можно представить в видегде – линейный по отношен к функционал и при , то линейная по отнош к часть приращ функционала, т.е. , называется вариацией функционала . В этом случ функционал наз дифференцируемым в точке . Дифференциал Гато (слабый дифференциал)

Пусть  — есть отображение, действующее из  в  ( и - банаховы пространства). Дифференциалом Гато отображения  в точке  (при приращении ) по направлен  назыв предел

где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве .  также называют первой вариацией отображения  в точке .

Дифференциал Фреше

Пусть  — оператор, действующ из некотор вещественного банахова простр  в веществ банах простр .

Производной Фреше оператора  в точке  назыв линейн оператор , такой, что для любого  выполн след равенство:

причем для остаточного члена  верно соотношение: при 

Если производная Фреше сущ, то оператор  наз сильно дифференцируемым. Линейная часть приращ  в таком случ именуется дифференциалом Фреше функции .

Необх услов экстремума функционала достигает на кривой макс, если знач функционала на любой близкой к кривой не больше чем , т.е. Если , причём , только при , то говорят, что на кривой достигается строгий макс. Аналогично определ кривая , на котор реализ миним. В этом случ на всех кривых, близких к кривой . функционал достигает на кривой сильного относит макс, если для всех допустим кривых , располож в некотор -окрестн нулевого порядка кривой , имеем Аналогично определяется и сильный относит мин функционала.

функционал достигает слаб относитмакс, если для всех допустим кривых , располож в некотор -окрестности первого порядка кривой , имеем

Аналогично опр и слаб относит мин функционала.

Макс и мин (сильн и слаб) функционала называют относит экстремумами.

Всякий сильн экстремум есть в то же время и слабый, но не наоборот.Экстремум функционала на всей совокупности функций, на которых он определён, называется абсолютным экстремумом.Всякий абс экстремум явл слаб и сильн относит экстремумом, но не всякий относит экстремум будет абсолютн.

Билет 5. Простейшая задача вариационного исчисления.

Простейш задачей вариац исчислен явл нахождение экстремума для функционала с фиксированными границами

Принимаем, что функция и её производные непрерывны на .

Выведем необх услов, котор должна подчиняться для того, чтобы функционал имел экстремум. Возьмём любую функц , равную нулю на концах промежутка интегрир, и наряду с , котор должна давать экстремум функционалу , образуем новую функц , где – малый численный параметр. Эта новая функция удовлетв тем же предельным услов, что и . Подставив её в функционал , получим в рез-те интегриров некотор функц параметра :

При любом заданном положит функция находится в -окрестности (даже первого порядка) линии для всех значен парам , достаточно близких к нулю. Следов, раз даёт экстремум функционалу , то функция (1) должна иметь экстремум при значении , а потому её произвя должна обратиться в нуль при . Диф-руя под знаком интегр и обозначая частн производн индексами, будем иметь:

Производя интегриров по частям, можно написать:

Применяя лемму Дюбуа-Реймона, мы можем утверждать, что кривая , дающая экстремум исходному функционалу, должна удовл след диф ур: Данное диф урназ уравнением Эйлера. Оно представляет собой диф ур второго порядка, и его общий интеграл содержит две произвольные Билет 5(продолжение)

постоянные, котор должны определяться из двух предельных условий (.

Раскрывая полную производную по , мы можем написать это уравнение в виде: где, например, есть частная производная второго порядка, взятая по и .

Произведение , являющееся дифференциалом функции при , наз обычно первой вариацией исходного функционала . Принимая во внимание (2), можем написать:

Билет 6. Функционалы от нескольких функций.

уравнение Эйлера для случая, когда функционал зависит от нескольких функций.Ограничимся случаем двух функций:

Строим две функции, близкие к и : где – произвольн функц, равн нулю на концах промежутка . Подставляя их в интеграл (1), получ функц от , и для того, чтобы к и давали экстремум функционалу (1), необх, чтобы частн производн от по обращались в нуль при . Производя вычислен, аналогичные вычислениям для функционала от одной функц, получ для этих частн производн след выраж:и так как внеинтегральные члены обращаются в нуль, то, как и в случ с функционалом от одной функц, мы убедимся в том, что для того, чтобы функц и давали экстремумы функционалу (1), необх, чтобы они удовлетв следующей сист двух ур-ний второго порядка: Кроме этих уравн мы имеем ещё и предельные условия:выражающие закрепление концов искомой пространственной кривой.

В силу (2) вариация интеграла (1) выразится формулой:

Для случая функционала от функций вычисления производятся аналогично.