13 билет

13билет

Условн экстрем, относит экстр, экстрем функц f (x1,..., xn + m) от п + т переменн в предположении, что эти переменн подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):

jk(x1,..., xn + m) = 0, 1£ k £ m (*)

(см. Экстремум). Точнее, функц f имеет У. э. в точке М, коорд котор удовлетвор уравнен (*), если её знач в точке М явл наибольшим или наимен по сравнению со знач f в точках некотор окрестности точки М, коорд котор удовлетв уравн (*). Геометрич в простейшем случ У. э. функц f (x, у) при условии j(х, у) = 0 явл наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащ на поверхности z = f (x, у) и проектирующейся на плоск хОу в кривую j(х, у) = 0. В точке У. э. линия j(х, у)= 0 либо имеет особую точку, либо касается соответств линии уровня [см. Уровня линии (поверхности)] функции f (x, у). При некотор доп-ных услов на уравнен связи (*) разыскание У. э. функц f можно свести к разысканию обычного экстремума функц, выразив x1 + 1.., xn + m из уравнения (*) через x1,..., xn и подставив эти выражения в функц f. Др. метод решения – Лагранжа метод множителей.

Задачи на У. э. возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.

Многие задачи вариац исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при услов, что др. функционалы имеют заданное знач (см., например, Изопериметрические задачи)или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функц, удовлетворяющ некотор уравнен связи, и т.д. Реш таких задач также проводится методом множителей Лагранжа..