Bilety_matan_2013

Термин “Эконом”. Хар-ка факт-ов произв-ва.

Терм “Эк” появился еще в Древней Греции. Это сочетание двух слов :”ойкос”- дом, хозяйство и “комос”- закон. Буквально этот термин переводится как “домоводство”.

“Экономика”- это нечто связанное с производством благ (матер и нематер, т.е. не имеющих вещную форму). Во-вторых “Эк” возникает не просто из произв-ва, а из общественного произв-ва, т.е. произв-ва по поводу которого люди вступают в общение друг с другом. И наконец, в-третьих, чтобы что-то произвести, осуществить процесс пр-ва необходимы определенные ресурсы.

Те ресурсы, кот необх для осуществления процесса пр-ва, наз факторами производства. К ним относятся :

- природные ресурсы, т.е. все естественные ресурсы (“даровые” блага) природы, используемые в производстве - земля, леса, воздух, вода, полезные ископаемые, любое добываемое в природе сырье;

-труд - совокупность знаний, умений, навыков, физических и интеллектуальных способностей человека, т.е. рабочая сила, которую он пускает в ход для производства благ (продукции);

- капитал - (инвестиционные ресурсы)- все средства производства произведенные человеком- здания, сооружения, машины, оборудование, полуфабрикаты, инструменты и т.д., а также денежные средства (“инвестирование”- процесс производства и накопления средств производства).

- предпринимательская способность- т.е. способность объединить в едином процессе первые три фактора производства, способность принимать решения и рисковать в этом процессе.

Экономика исследует проблемы эффективного использования ограниченных производственных ресурсов или управления ими с целью достижения максимального удовлетворения потребностей человека (цель потребителя- максимальное удовлетв. потребностей).

- “рыночная экономика” - система, форма организации хозяйства, при которой производитель и потребитель свободны в связях между собой и связываются по экономическим мотивам ( посредством рынка), через систему цен, спроса, предложения, прибылей, убытков, конкуренции решают “что-как-для кого производить”;

- смешанная экономика - предполагает определенное вмешательство государства в систему “рыночной экономики”

Экономическая политика, т.е. нормативное (основанное на определенных методиках, положениях, законах) экономическое поведение индивидумов и сообществ индивидумов.

Дедукт - движение от теории к фактам

индукт - от фактов к теории

Билет 2. Интегрир и дифференц оригиналов и изображ. Свёртка функц, её изображ.

Интегрирование и дифференц оригиналов и изображ относятся к свойствам преобразования Лапласа.

Дифференцирование оригинала. Если функции являются функциями-оригиналами, и , то где под понимается

Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на оригинала

Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на , то есть если , то

Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции :

Теорема умножения (теорема о свёртке). Произведение двух изображений и также является изображением, причём Интеграл в правой части выражения называется свёрткой функций и и обозначается символом .

Билет 3. Ф-ла Дюамеля. Применение преобразов Лапласа к реш диф ур.

Если функция непрерывна на , а функция непрерывно дифференцируема на и

То Отсюда по теореме о дифференцировании оригинала

Это – так называемая формула Дюамеля.

Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами -го порядка при нулевых начальных условиях Допустим, что известно решение уравнения

с той же левой частью и правой частью, равной единице при условиях (3). Переходя к операторным уравнениям, будем иметь ( – известный многочлен от )

для (2) и

для (4). Из (5) находим а из (6) откуда Согласно формуле (1)

Учитывая, что получаем Отсюда решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях (3) будет иметь вид где – решение задачи (4)-(3).

Билет 3(продолжение

)Примен преобраз Лапласа для решения диф ур и сист диф ур

процесс реш ДУ или сист ДУ сводится к переводу оригиналов уравнений в эквивалентные изображения этих уравнений, а затем нахождения изображений неизвестных переменн, после чего найденные изображ переводятся обратно в оригиналы. При этом используются св-ва преобразов

Лапласа о дифференцировании. Интегралы Френеля

Обращение преобразов Лапласа. Обратное преобраз Лапласа функц комплексной перемен есть функц , для которой преобраз Лапласа есть . Не каждая функция имеет обратное преобразование Лапаласа.

Теорема обращения. Пусть тогда в каждом открытом интервале, где ограничена и имеет конечное число точек макс, мин и точек разрыва

Теорема разложения. Если – аналитич функц в окрестн бесконечно удалённой тчк и равна в ней нулю, и если лорановское разложение в окрестн бесконеч удалённой точки имеет вид то оригиналом служит функция причём этот ряд сходится при всех .

Билет 4. Классич зад вариац исчислен (задача Дидоны, задача о брахистохроне и т.д.). Дифф-ное исчисление в нормированных пространствах (диф-лы Гато и Фреше). Необходимое услов экстремума функционала. Лемма Лагранжа. Лемма Дюбуа-Реймона.

Зада́ча Дидо́ны — исторически первая задача вариационного исчисления. Связана с древней легендой об основании города Карфагена.

Задача сводится к нахождению экстремума функционала

с граничными условиями , и при фиксированном параметре (длине)

 и  просто точки закрепления каната. Решением является дуга окружности, если концы нельзя двигать по побережью, и полуокружность в противном случае.

Задача о брахистохроне Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащих в одной вертикальной плоскости (В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной с отрицательной полуосью OY, материальная точка достигнет В из А за кратчайшее время Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдем такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально. Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

, где

 — масса тела,

 — ускорение свободного падения,

 — ордината,

 — скорость движения тела.

Получаем: ,

откуда можно найти значение проекции скорости на ось :.

Поскольку время на спуск равняется , то задача сводится к минимизации значения интеграла .