
Физика 3 семестр / новая папка / Помощь к экзамену / Темы / 06.Теорема Гаусса
.doc1.6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме
Основная теорема электростатики была выведена в 1829 г. русским математиком М.В. Остроградским для произвольного векторного поля. Немецкий физик и математик К.Ф. Гаусс в 1830г. применил ее к расчету электростатических полей.
Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S (рис.1.15). Назовем элементарным потоком напряженности электростатического поля через малый участок (элемент) поверхности S величину
,
(1.20)
где
–
вектор площади элемента поверхности,
– вектор единичной нормали к поверхности
в месте расположения элемента
.
Справедливы соотношения:
;
.
Малый элемент поверхности
выбирается таких размеров, чтобы в его
пределах можно было считать поле
однородным, а кривизну поверхности
можно было бы не учитывать.
.
(1.21)
в одну и ту же сторону по отношению к
поверхности S.
Например, в случае замкнутой поверхности
S
в дальнейшем будем считать векторы
внешними нормалями,
т.е. направленными из
области, ограниченной этой поверхностью.
Из
(1.21) видно, что Ф
= 0, если во всех точках поверхности S
силовые
линии поля перпендикулярны векторам
,
т.е. “скользят” по поверхности. С другой
стороны, поток максимален, если поверхность
S
расположена перпендикулярно силовым
линиям в каждой точке пространства.
Таким образом, поток
вектора напряженности через поверхность
пропорционален числу силовых линий,
пересекающих эту поверхность.
,
вырезаемого конической поверхностью
угла на сфере радиуса r
с центром в вершине угла, к квадрату
радиуса:
.
Единицей
телесного угла в СИ служит угол,
опирающийся на сферу радиусом 1 м и
вырезающий на ней элемент площадью 1
м2.
Такой телесный угол равен 1 стерадиан
(обозначается 1 ср). Поскольку площадь
поверхности всей сферы равна
,
то телесный угол, опирающийся на всю
сферу и охватывающий все пространство,
равен
ср.
Рассмотрим
точечный заряд Q,
охваченный произвольной замкнутой
поверхностью (рис.1.17). Выделим на этой
поверхности элемент площадью
,
“вырезаемый” из нее телесным углом
с
вершиной в заряде. Элементарный поток
вектора напряженности поля точечного
заряда через элемент
,
согласно (1.20), в СИ равен
.
Тогда полный поток вектора напряженности через всю замкнутую поверхность можно найти как
.
(1.22)
Кружок
на значке интеграла означает, что
суммирование производится по замкнутой
поверхности. Если произвольная замкнутая
поверхность охватывает точечные заряды
,
то можно составить систему уравнений:
где
– напряженность поля каждого из зарядов.
Складывая уравнения системы, получим
.
(1.23)
Итак, если внутри замкнутой поверхности находятся электрические заряды, то поток вектора напряженности пропорционален сумме этих зарядов.
,
расположенный вне произвольной замкнутой
поверхности (рис.1.18). В этом случае
касательная коническая поверхность с
вершиной в точке расположения заряда
разбивает поверхность S
на две части:
и
.
Полный поток напряженности через всю
поверхность S
равен алгебраической сумме потоков
через эти части:
.
Однако
если для всех элементов поверхности
углы
между векторами
и внешними нормалями
тупые (при
,
то для всех элементов поверхности
эти углы острые. Следовательно,
,
.(1.24)
Поскольку
поверхности
и
видны из точки расположения заряда Q
под одним и тем же телесным углом
,
то, согласно (1.22),
.
Отсюда, с учетом (1.24), получаем
.
(1.25)
Обобщим выводы (1.22), (1.23), (1.25). Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:
.
(1.26)
Полученное
соотношение выражает теорему
Остроградского–Гаусса для
электростатического поля в вакууме.
Замкнутую поверхность S,
фигурирующую в теореме, часто называют
гауссовой
поверхностью.
Отметим, что коэффициент пропорциональности
между потоком напряженности и суммой
зарядов, охваченных этой поверхностью,
определяется выбором системы единиц
физических величин. В СИ этот коэффициент
равен
(см. 1.2). В других системах единиц он может
быть другим.
1.7. Примеры использования теоремы Остроградского–Гаусса
Применение
теоремы Остроградского–Гаусса (1.26)
особенно удобно для расчета
электростатических полей симметричных
систем зарядов. В этом случае можно так
выбрать гауссову поверхность, что поток
напряженности поля через нее легко
выражается через искомое значение
модуля вектора
.
Решение задачи о нахождении напряженности
поля в какой-либо точке пространства
должно осуществляться следующим образом:
1.
Исходя из симметрии распределения
заданной системы зарядов в пространстве
необходимо построить силовые линии
поля, т.е. определить направление вектора
в любой точке пространства.
2. Выбрать “удобную” замкнутую гауссову поверхность, отвечающую следующим требованиям:
а) она должна проходить через исследуемую точку;
б) площадь поверхности должна быть известна;
в) модуль напряженности поля должен быть постоянен в точках всей поверхности или хотя бы ее части;
г)
угол между
и внешней нормалью к поверхности должен
быть известен в любой точке поверхности
(это обеспечивается выполнением п. 1).
3. Определить поток напряженности поля через выбранную поверхность. Если выполнено условие п.2в, то
,
где
–
постоянный модуль напряженности поля
во всех точках части поверхности
.
4. Определить алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью S.
5. Применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в пп.3 и 4 с учетом коэффициента пропорциональности.