Физика 3 семестр / новая папка / Помощь к экзамену / Темы / 31.система уравнений Максвелла

8.5. Система уравнений Максвелла

в дифференциальной форме

Запишем систему уравнений Максвелла (8.5) в дифференциальном виде, объединив (8.10), (8.9), (8.6) и (8.7):

(8.14)

Развернем эти уравнения, использовав полученные соотношения для ротора и дивергенции.

(8.15)

Следует отметить, что уравнения в интегральной форме имеют бóльшую общность, чем в дифференциальной форме, т.к. они остаются справедливыми и тогда, когда в пространстве можно выбрать поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачком. Дифференциальные же уравнения предполагают непрерывность величин, входящих в них. Для использования дифференциальных уравнений дополним их граничными условиями

(8.16)

которые справедливы и для стационарных, и для переменных электрических и магнитных полей.

Системы (8.14) недостаточно для описания полей, даже при наличии заданного распределения зарядов и токов проводимости, т.к. в системе уравнений отсутствуют особенности среды, в которой рассматриваются поля. С этой целью дополним систему еще тремя уравнениями, которые верны для слабых полей и для медленно меняющихся во времени и в пространстве полей:

(8.17)

Итак, рассмотрев систему уравнений Максвелла, мы получили такой вывод: переменное электрическое поле возбуждает вихревое магнитное (2-е уравнение), переменное магнитное возбуждает вихревое электрическое (1-е уравнение), и т.д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электрическое поле, то в окружающем их пространстве возникают взаимные превращения электрического и магнитного полей. Именно эта совокупность последовательно сменяющих друг друга в пространстве электрического и магнитного полей и называется электромагнитным полем.

Поскольку простейший способ его получения – колебания электрических зарядов, то следующий раздел мы посвятим электромагнитным колебаниям.

9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости от природы колебательного процесса и “механизма” его возбуждения различают: механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин, мостов и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука и т.п.); электромагнитные колебания (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов напряженности электрического и магнитного поля); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона) и пр. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Важно, что независимо от природы колебаний и характера колебательной системы все колебательные процессы подчиняются одним и тем же закономерностям. Основные выводы, полученные нами при рассмотрении механических колебаний (см. гл.5 первой части курса), справедливы и для электромагнитных колебательных процессов. Это касается дифференциальных уравнений колебаний, их решений, определения характеристик собственных, затухающих и вынужденных колебаний. Поэтому при анализе электромагнитных колебаний мы будем использовать выводы и соотношения, полученные ранее.

9.1. Собственные колебания

в последовательном колебательном контуре

Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электрические колебания, служит простейший колебательный контур (рис. 9.1), состоящий из конденсатора электроемкостью С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивностью L. При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают

свободные незатухающие колебания заряда конденсатора и тока в катушке. Рассмотрим процесс возникновения колебаний подробнее.

На рис. 9.1, а показано исходное состояние системы. Конденсатор заряжен максимальным зарядом , где – выходное напряжение источника, которым проводилась зарядка конденсатора. Между обкладками конденсатора в этом состоянии существует электрическое поле, энергия которого равна . Если конденсатор подключить к катушке, то он начнет разряжаться и в контуре возникнет электрический ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато появится все увеличивающаяся энергия магнитного поля, обусловленного током через катушку. В момент, когда сила тока в цепи равна i, энергия магнитного поля составит .

Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, то полная энергия системы, состоящая из энергий электрического и магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и остается постоянной. Поэтому в тот момент, когда конденсатор полностью разряжается, т.е. его заряд (а значит, и энергия электрического поля) обращается в нуль, энергия магнитного поля, а значит и сила тока в цепи, достигают наибольшего значения: (рис. 9.1, б). Происходит это за счет возникновения в контуре ЭДС самоиндукции. Т.к. при разрядке конденсатора сила тока в цепи изменяется, то возникающая самоиндукция стремится поддержать силу тока в цепи неизменной. В результате, когда конденсатор полностью разряжен, ЭДС самоиндукции поддерживает ток в цепи в том же направлении. Поскольку направление тока – это условное направление движения положительных зарядов в цепи, то конденсатор заряжается так, что знаки зарядов обкладок противоположны исходному состоянию (рис.9.1, в). При этом сила тока в цепи уменьшается, энергия электрического поля конденсатора растет. Когда заряд конденсатора достигает прежнего максимального значения , то энергия электрического поля снова достигает максимума .

Определим закон изменения заряда конденсатора во времени. Поскольку энергия контура остается неизменной во времени, то

, т.е. .

Подставим и :

.

Учтем, что , а , тогда получим

,

. (9.1)

Полученное выражение совпадает по форме с дифференциальным уравнением свободных колебаний (соотношение (5.3), п.5.1 первой части):

,

где  - собственная частота колебаний. Поэтому выражение (9.1) называется дифференциальным уравнением собственных незатухающих колебаний заряда в колебательном контуре. Видно, что собственная частота колебаний колебательного контура (обозначим ее ), равна

. (9.2)

Решением (9.1) является функция зависимости заряда конденсатора от времени:

, (9.3)

где – амплитудное значение заряда конденсатора, – начальная фаза колебаний заряда.

Период собственных колебаний колебательного контура определяется так:

. (9.4)

Соотношение (9.4) называется формулой Томсона в честь получившего его английского физика У. Томсона (лорд Кельвин).

Пользуясь (9.3), выведем закон изменения силы тока в контуре. Для этого найдем производную заряда по времени:

. (9.5)

Из сопоставления (9.3) и (9.5) видно, что колебания силы тока в контуре опережают колебания заряда по фазе на , а по времени – на четверть периода. Графики изменения заряда конденсатора и силы тока в колебательном контуре при представлены на рис. 9.2.

Чтобы получить зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени, достаточно воспользоваться определением емкости (3.7):

, (9.6)

Видно, что напряжение на конденсаторе изменяется со временем синхронно с зарядом конденсатора.

Соотношение между амплитудным значением напряжения на конденсаторе и амплитудным значением силы тока в цепи подобно закону Ома, поэтому отношение называется волновым сопротивлением контура:

. (9.7)

Проанализируем изменение энергии, происходящее в контуре при свободных колебаниях. Следующие выражения показывают, как изменяется энергия электрического поля в конденсаторе и энергия магнитного поля в соленоиде со временем при нулевой начальной фазе колебаний: ,

.

Поскольку , то

(9.8)

Графики зависимостей энергии магнитного и электрического полей представлены на рис. 9.3.