4.3.2.1. Пример решения задачи о назначении венгерским методом.

Пример 2. Исходная матрица:

При решении задачи используем следующие обозначения:

Знак выделения “+”, подлежащий уничтожению, обводим кружком; цепочку, как и ранее, указываем стрелками.

Предварительный этап. Отыскиваем максимальный элемент первого столбца – 60. Вычитаем из него все элементы этого столбца. Аналогично для получения второго, третьего, четвертого и пятого столбцов новой матрицы вычитаем все элементы этих столбцов от 60, 65, 67, 61 соответственно. Получим матрицу С^'(C^'~C).

Отыскиваем минимальный элемент первой строки – 0. Вычитаем его из всех элементов строки. Повторяем аналогичную процедуру со всеми строками, вычитая из элементов каждой строки 0, 0, 7, 6 соответсвенно.

Так как в каждой строке матрицы есть нуль, то процесс приведения матрицы заканчивается. Далее ищем и отмечаем знаком “*” независимые нули в С₀, начиная с первой строки.

	+	+	+		+
	0	0*	4	4	1
	1	1	5	7	0*
	1	4	0*	0	1
	0*	7	14	14	5
	0	7	15	17	32

Первая итерация. 1-й этап:

+	+	+		+
0	0*	4	4	1
1	1	5	7	0*
1	4	0*	0'	1	+
0*	7	14	14	5
0	7	15	17	32

Выделяем знаком “+” первый, второй, третий и четвертый столбцы матрицы С₀, которые содержат 0^*.

Просматриваем невыделенный четвертый столбец, находим в нем невыделенный нуль С₃₄ = 0, отмечаем его штрихом и выделяем знаком “+” третью строку. Просматриваем эту строку, находим в ней элемент С₃₃ = 0^* и уничтожаем знак выделения третьего столбца, содержащего 0^*. Затем просматриваем третий столбец – в нем нет невыделенных элементов. Переходим к третьему этапу.

3-й этап:

0	0*	0	0	1
1	1	1	3	0*
5	9	0*	0	5
0*	7	10	10	5
0	7	11	13	32

Находим минимальный элемент в невыделенной части матрицы С₀ (т.е. элементы, которые лежат в столбцах и строках, не отмеченных знаком “+”). Он равен h = 4.

Вычтем h = 4 из всех элементов невыделенных строк (т.е. всех, кроме третьей) и прибавим ко всем элементам выделенных столбцов (первого, второго и пятого). Получим матрицу С^'₁ и перейдем к первому этапу.

Далее поступаем аналогично, пока в строке, где находится невыделенный нуль, не окажется нуля со звездочкой. Отметив этот 0 штрихом, переходим ко второму этапу. В данном случае это С₅₁ = 0.

1-й этап
	+	+	+				+
	0	0*	0'		0		1	+
	1	1	1		3		0*
	5	9	0*		0'		5	+
	0*	7	10		10		5
	0	7	11		13		32

3-й этап
	1	0*		0	0		2
	1	0		0	2		0*
	6	9		0*	0		6
	0*	6		9	9		5
	0	6		10	12		32

1-й этап		+	+		+
	+
	1	0*	0'	0	2	+
	1	0'	0'	2	0*	+
	6	9	0*	0'	6	+
	0*	6	9	9	5
	0	6	10	12	32
3-й этап
	6	0*	0	0	2
	6	0	0	2	0*
	11	9	0*	0	6
	0*	1	4	4	0
	0	1	5	7	27

+ 1-й этап		+		+			+
	6	0*	0'		0		2	+
	6	0'	0'		2		0*	+
	11	9	0*		0'		6	+
	0*	1	4		4		0'	+
	0'	1	5		7		27	+

2-й этап

6	0*	0'	0	2
6	0'	0'	2	0*
11	9	0*	0'	6
0*	1	4	4	0'
0'	1	5	7	27

Второй этап. Начиная с элемента С₅₁ = 0^’, строим цепочку, двигаясь от него по столбцу. Находим нуль со звездочкой С₄₁ = 0^*, далее от него движемся вдоль четвертой строки и находим 0^’(С₄₅), от этого элемента движемся вдоль пятого столбца к С₂₅ = 0^*, далее от него движемся вдоль второй строки и находим 0^’(С₂₃), от него движемся по третьему столбцу и находим 0^*(С₃₃), последним элементом цепочки является элемент 0^’(С₃₄),. Таким образом, цепочка построена: 0’₅₁ - 0^*₄₁ - 0’₄₅ - 0^*₂₅ - 0’₂₃ - 0^*₃₃ - 0’_34. Заменяем штрих на звездочку и уничтожаем звездочки над четными элементами цепочки, а также все знаки выделения столбцов и строк. На этом первая итерация заканчивается. В результате число независимых нулей увеличилось на единицу. В данном примере уже после первой итерации количество независимых нулей (0^*) стало равно 5 (размерности матрицы С), и поэтому алгоритм заканчивает работу. Искомые элементы назначения соответствуют позициям независимых нулей матрицы С₃ (т.е.  0^*).

Соответствующее значение целевой функции: f = 54 + 60 + 60 + 67 + 49 = 290