39. Подобие матриц. Опред лин опер

2 мат А,ВЄМ(n,P) наз подобными, если сущ мат ТЄМ(n,P), опред (det T≠0) отличен от нуля В=ТАТ^-1.

Теорема: Отношение подобие мат есть отношение эквивалента на множ М(n,P)

Из теореме «о мат лин опер в различ базисах» => что мат лин опер f век прос V над полем Р подобны причем мат Т явл мат перехода от старого базиса к нов таким образом кажд лин опер прост V соответ целый класс подобых мат. Представляющеющ опер М в различ базисах. Все мат ЄМ(n,P).

Лемма:если мат А,ВЄМ(n,P), подобны, то det A=det И

Док:сущ ТЄМ(n,P) : /Т/≠0 В=ТАТ^-1 /В/=/ТАТ^-1/ /В/=/Т/*/А/*/Т/^-1

40.Характеристич мног лин опер. Собственные значения и собственные век

Пусть мат А с Эл а_ij квад мат кор n над полем P. Λ-некоторая переем величина мат

А-λЕ=a₁₁-λ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂-λ … a_2n

…

a_n1 a_n2 … a_nn-λ

Характеристич мат к мат А.

Многочлен Х(λ)=/А-λЕ/-наз характеристич многоч мат А.

Лемма: Характеристич многоч подоб мат=обрат утвер неверно.

Е=1 0

0 1

А=1 1

0 1

/Е-λЕ/=(1-λ)² /А-λЕ/=(1-λ)² / сущ Т, /Т/≠0 ТЕТ^-1=Е≠А

Эта лемма дает возм характер мног нек мат опер f хар мног опер M.

Опред:пусть f лин опер V над P х ненул век прост V.Если f(x)=λx для кот λ и прост Р, то с к λ наз соот значен опер f, а век х соответ век f прин соот значен λ.

Пр:1)расс H_α H_α(x)=αx для всех хЄV

2)dЄHom_pVm Ker f≠{θ} сущ хЄKer f, x≠0, f(x)=θ=0x

3)R_n[x] (d/dx)(c)=0=0c

Теорема: собст знач лин опер f конечномер прос V над полем Р явл все корни характеристич мног опер f полю Р.

Замеч1:Бывают случ, когда характер мног неимеет корней.

Замеч2:на основ основной теор алгебры над полем комп чисел люб опер имеет собст знач и век.

Замеч3:из этой теоремы получ практ метод нахождение собст знач и вект.

Собст знач находим как корни Ур det A-λE=0, если х собст век опер f соотв собств знач λ, то координаты век х должны удовлет λ(х₁,х₂…х_n)(A-λE)=(0,0…0).

Решая это Ур будем находить координаты этих вект соот.

41.Инвариантные подпространства.

Опред:пусть f лин опер V над полем Р.Подпрост U прост V наз инвариантным относ опер f , если для всех xЄU, f(x)ЄU.

Пр:1) для всех лин опер нул подпр и все прос V инвар относ его;

2)относ опер гомотетии инвариантны все подпространства;

3)подпр R_k[x], где k<=n инвариантно относ опер диф R_n[x].

Лемма1:для всех лин опер f прост V подпрос Ker f, Im а будут инвариантны относ V.

Лемма2:пусть f лин опер век прос V сумма и пересеч инвар и подпрост являються инвариантыми относит f подпр.

Док: 1)пусть U₁,U₂…U_k-подпрос

Расс их сумму U₁+U₂+…+U_k={х₁ +х₂+…+х_k/x_iЄU_i, i=1,k}

Для всех хЄU₁+U₂+…+U_k

f(x)=f(х₁ +х₂+…+х_k)=f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_k)ЄU₁+U₂+…+U_k или =GU₁+ GU₂+…+ GU_kЄ U₁+U₂+…+U_k

2)рас ∩^k_i=1U_i {x/xЄU_i,i=1,k} f(x)ЄU₁,U₂…U_k=>f(x)Є∩^k_i=1U_i

42.Диагонализируемость линейного пространства.

Опред:лин опер f n-мерного век прост V наз диагонализированымь если в нек базисе прос V мат опер f имеет диагональный вид.

Диагон вид- на диагонали главной числа (α_n)

Теорема:лин опер f конеч-мерного век прос V диагонал т и т т к в прос V сущ n-лин незав собст век опер f.

Лемма:собст векторы лин опер Єразлич собст знач лин незав.

Теорема:пусть f лин опер n мерного век прост V над полем P. Если все корни характер мног опер f обознач (λ₁,λ₂…λ_n)ЄP и различ, то опер f диагонализируем и в базисе состоящем из собст век, его мат имеет диагон вид.

Пр: док что пер f дейст, прост V имеющ в базисе е₁,е₂,е₃ мат вида

А=0 3 1

3 0 1

-2 2 1

Диагонал .Найти диагон вид и соот вид

Составим характер ур

/А-λЕ/=0

-λ 3 1

3 -λ 1=0

-2 2 –λ

λ²(1-λ)-6+6-2λ+2λ-9(1-λ)=0

(1-λ)(λ²-9)=0

(1-λ)(λ-3)(λ+3)=0

1 0 0

0 3 0

0 0 -3

λ₁=1, λ₂=3, λ₃=-3

λ₁=1:

(х₁,х₂,х₃)(А-λЕ)=0

(х₁,х₂,х₃)* мат-1 3 1

-2 2 0=(0,0,0)

Сист:

-x₁+3x₂-2x₃=0

3x₁-x₂+2x₃=0

x₁+x₂=0

x₂=-x₁

сист:

-4x₁-2x₃=0

4x₁+2x₃=0

x₃=-2x₁

(α,-α,-2α) для всех αЄR

a₁=(1,-1,-2)

рас α₂=3

сист:

-3x₁+3x₂-2x₃=0

3x₁-3x₂+2x₃=0

x₁+x₂-2x₃=0

x3=β

сист:

3x₁-3x₂=2β

-3x₁+3x₂=2β

x₁=2/3β, x₂=4/3β

(2/3β,4/3β,β) для всех βЄR

a₂=(2,4,3)

λ₃=-3

(x₁,x₂,x₃)*мат3 3 3

3 3 1=(0,0,0)

-2 2 4

Сист:

3x₁+3x₂-2x₃=0

3x₁+3x₂+2x₃=0

x₁+x₂+4x₃=0

x₃=0

x₁+x₂=0

x₂=-x₁

(γ,-γ,0) для всех γЄR

f(a₁)=λ₁a₁=1a₁+0a₂+0a₃

f(a₂)=λ₂a₂=0a₁+3a₂+0a₃

f(a₃)= λ₃a₃=0a₁+0a₂+3a₃