55. Индекс и закон инерций квадратичных форм

Теорема: число ненулевых коэфф в канонич виде квад формы над полем Р не зависит от способа приведения квад формы к этому виду и равно рангу квад формы.

Док:Пусть А-мат квад формы f(х₁,х₂…х_n), Х=(х₁,х₂…х_n), тогда f(х₁,х₂…х_n)=ХАХ^Т.Из пред теоремы =>сущ невырожд лин преобраз переем х₁,х₂…х_n Х^Т=ТУ^Т,привод данную квад форму к канонич виду: g(х₁,х₂…х_n)=b₁y₁²+b₂y₂²+…+b_ny_n².Мат квад формы g имеет вид:

В=b₁

b₂ O

O _…

b_n

Ранг этой мат равен числу отличных от нуля диагональных элементов и равен числу ненулевых коэфф в квад форме g(y₁,y₂…y_n).

Рассмотрим f(х₁,х₂…х_n)=ХАХ^Т=(Х^Т)АХ^Т=(ТУ^Т)А(ТУ^Т)=У(Т^ТАТ)У^Т= g(y₁,y₂…y_n)=УВУ^Т. Отсюда В=Т^ТАТ. Т.к. Т невыраж мат, то А=(Т^Т)^-1ВТ^-1. Т.к. умнож мат на невыраж мат не меняет ее ранг, то rang B=rang((T^T)^-1ВТ^-1)=rangA. Эта теорема позволяет ввести след опред:

Опред:число ненулевых коэфф в канонич виде квад формы наз индексом инерции квад формы.

56.Приведение действительной квадратичной формы к канонич виду с помощью ортогонального преобраз перемененных.

Теорема:Для весх дейст квад формы f(х₁,х₂…х_n) сущ лин преобраз переем х₁,х₂…х_n с ортогональной матрицей, приводящее эту форму к канонич виду; при этом коэфф при квадратах перем будут корни характеристического многочлена мат квад формы f(х₁,х₂…х_n).

Док: А-симметричная матрице=> сущ ортогон мат С: САС^-1=В-диагональная мат, на главной диаг которая располож соб знач мат А. Лиин преобраз с мат С^Т.

57.Нормальный вид действительной квадратичной формы.

Опред:Норм видом действительного квадрат формы f(х₁,х₂…х_n) наз такой ее канонич вид, в которм все ненул коэфф =1 или -1.

Теорема:всякая действ квад форма м/б приведены к норм виду некоторым невырож лин преобраз переменных.

Док: По той теореме дейст квад форма м/б приведена к канонич виду с помощью невырож преобраз переем над полем С: b₁y₁²+b₂y₂²+…+b_ny_n, где b₁,b₂…b_n-некот дейст числа. Рассм преобраз У^Т=SZ^T по формулам

y_i=(1/sqrt(b_i))*z_i, если b_i>0

(1/sqrt(-b_i))*z_i, если b_i<0

z_i, если b_i=0

Мат этого преобразовывается S

На гл диаг имеет ненул Эл 1 или 1/sqrt(b_i) или 1/sqrt(-b_i) и т.д.

Пр: f(t₁,t₂,t₃)=2t₁²-2t₂²

t₁=(1/sqrt(2))*z₁

t₂=(1/sqrt(2))*z₂

t₃=z₃

Мат S=1/sqrt(2) 0 0

0 1/sqrt(2) 0

0 0 1

f(z₁,z₂,z₃)=z₁²-z₂²-норм вид над R.

След теорема показывает, что норм вид дейст квадж форм определ донознач(с точностью до наименования перем), а число полож и отриц коэфф в норм виде явл инвариантными квад формамы.

Теорема: число полож и число отриц коэфф в норм виде дейст квад формы не зависят от выбора невырожд лин преобраз перем, привод эту форму к норм виду.

Опред:число полож и число отриц коэф в норм виде дейст квад форм наз полож индексом инерции этой квад формы, а число отриц коэф её отриц индексом инерции.

58.Нормальный вид комплексной квадратичной формы.

Опред:Норм видом комплексной квад формы f(х₁,х₂…х_n) наз такой ее канонич вид, в котором все ненулевые коэфф =1.

Теорема:всякая комплек квад форма может быть приведена с помощью некот линейного невырож преобраз переем к нормальному виду.

Док:По той теореме комплек квад форма м/б приведена к канонич виду с помощью невырож преобраз переем над полем С: b₁y₁²+b₂y₂²+…+b_ny_n, где b₁,b₂…b_n-некот комплексные числа. Рассм преобраз У^Т=SZ^T по формулам

y_i=(1/sqrt(b_i))*z_i,если b_i≠0

z_i,если b_i=0

Мат S этого преобраз имеет на гл диаг ненулевые Эл 1 или 1/sqrt(b_i), а вне гл диаг нули=> это преобраз невыпрождено. Применим его,получим ε₁z₁²+ε₂z₂²+…+ε_nz_n², где ε_iЄ{0,1}, i=1,n.

Произв 2-х невырож преобраз есть невырож преобраз.

Пр: f(t₁,t₂,t₃)=2t₁²-2t₂²

t₁=(1/sqrt(2))*z₁

t₂=(1/sqrt(-2))*z₂=(1/(sqrt(2)*i))*z₂=(1/sqrt(2))*i*z₂

t₃=z₃

Мат S =1/sqrt(2)

(1/sqrt(2))*I O

O …

1

f(z₁,z₂,z₃)=z₁²+z₂²-норм вид над полем C.

Опред:число полож и число отриц коэф в норм виде дейст квад форм наз полож индексом инерции этой квад формы, а число отриц коэф её отриц индексом инерции.