Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений

Опр.: пусть V и W век-ое прос-во над Р, отображение f:V->W удовлетворяет след.условиям

1) f(x+y)=f(x)+f(y)-аддитивность x,yV

2)f(x)= f(x), P,xV-однорд.

наз-ся линйным отображением прос-ва V->W Линейный оператор,его матрица yаз-ся лин-ое отображение. прос-ва V->V.Взаимооднозначные лин-ое отобр-ие V->W наз-ся изоморфоз

ным этих прос-тв.А V->V-арфаморфозмов V

Примеры: 1) ©:V->W,xV, ©;x->©’ W или так ©x=©’-нулевое векторное отображение; 2)V век-ое пр-во над Р, Р отображение Н_2:V->V,xV H₂(x)= x явл.лин-ым оператором пр-ва V с коэф-ом ; 3) отображение R_n[x] в себя ставещее каждому многочлену его производную.Оператор диф-сти d/dx.

Лемма:пусть V и W век. Пр-во над Р. Отображение f:V->W явл.лин-ым отображением пр-ва V в пр-во W <==>

x,yV и ,Pf (x+y)= f(x)+ f(y)

Док-во: 1) аддитивность ==1

2) однородность =0

32. Свойства линейных отображений

Пусть V и W—векторные пространства над полем f.f:V→W —называется линейным отображением, если: 1.f(x+y)=f(x)+f(y), для всех х и у принадлежащих V; 2.f(αx)=αf(x),α принадлежит Р и для всех х принадлежащих V.Линейный оператор — линейное отображение пространства в себя. Взаимнооднозначное отображение пространства V и W.Взаимнооднозначный линейный оператор — автоморфизм пространства V.Назовём проекцией вектора х на пространстве , параллельного подпространству .Обозначим: (V):V→V, (V):x→—линейный оператор проекции. Аналогично на .

Лемма: Пусть V и W векторное пространство над полем Р. f:V→W—отображение т.и т.т., когда : 1.f(αx+βy)=αf(x)+βf(y), для всех α и β принадлежащих Р, и х,у принадлежащих V.

Док-во: 1.При α=β=1;2.При α=1 , β=0

Лема: Пусть V и W—линейные пространства над полем Р, тогда f:V→W—линейное и: 1.f(θ)=, где θ принадлежит V, а принадлежит W;2.f(-x)=-f(x), для всех х принадлежащих V;3.для всех ,,…,, принадлежащих V, для всех ,,…, принадлежащих Р верно, что f(++...+)= ++...+);4.Если ,,…,—линейнонезависима, то ,,…,)— линейнонезависимы.

33. Линейный оператор, его матрица.

Опред: пусть v,w вектор пространства над олном полем удов.след условиям:

1)условие аддетивности;

2)условие однородности;

Линейным опер.пространство V в себе линейное отображение простр V в себя. Напомним что взаимно однозначное лин.отображение пространств V, пространства W/

Взаимно однозначное лин пространство V в себя наз линейным преобразованием или автоморфизмом пространства V.

Пр: 1) рассмотрим Θ: V W для любых xЄV, Θ: x  Θ^’ЄW Θ(x)= Θ^’

Такое отображение называется нулевым

2) Пусть V векторное пространство V , αЄP

Отображение λ_α: VV для любых xЄV : H_α(x)=αx является лин опер пространства V

Гомотетия:

Частичными случаями этого преобраз явл:

ε:Xx, α=1

Θ:X Θ, α=0

3) Отображ прост R_n[x]

Отображение в себя, стоновящийся в соответс имеет свое отображ это такое отображ явл отриц диффиринциала данного пространства и обознач d/dx

4)пусть векторное пространство V=U₁ U₂

Тогда по определению суммы для любых xЄV x=x₁+x₂, где x₁ЄU₁, x₂ЄU₂

Назовем вектор х₁ проекцией вектора х на подпространство U₁// подпрос U₂ => Pr_U1:VV Pr_U1(x)=x₁ Назыв проектором пространства М над подпр U₁//U₂

Лемма1: пусть V и W вект прос над полем Р.Отображение f : VW являеться мин отображ простр V в W , тогда и т.т.,к для люб х,уЄV и для люб α,βЄР вып условие f(α*x+β*y)=α*f(x)+β*f(y)

Док: 1)α=β=1; 2)β=0

Лемма2:пусть V и W век прост Р.

Вып след условие θ и θ^’ –нулевой вектор прост V и W соответ то: 1)f(θ)=θ^’

2)f(-x)=-f(x) для люб хЄV; 3)при люб систем вектор х₁,x₂…x_nЄV и для люб α₁,α₂…α_nЄP имеет смысл равенство

4)если сист век x₁,x₂…x_nЄV лин зависима, то лин завис и система век f(x₁),f(x₂)…f(x_n)простр ЄV лин независ, то и лин незав система вект f(x₁),f(x₂)…f(x_n).

След теорема показ что для зад лин отображ из V в W достаточно задать образы век некоторого базиса пространства V.

Теорема:пусть даны лин простр V и W, базис е₁,е₂…е_nЄV нек системы век а₁,а₂…а_nЄW, тогда сущ е длин отображ пространство V и W, т что α(е₁)=а_i,i=1,n

Следствие: лин опер f вектор прост VW однознач опред векторами f(е₁), f(е₂)… f(е_n), где е₁, е₂… е_nЄV

Опред: пусть f лин опер n мерного прост V над P,тогда ввек f(е₁), f(е₂)… f(е_n) тоже ЄV. Разложим эти вектора по векторам базиса (*)f(e₁)=a₁₁*e₁+a₁₂*e₂+…+a_1n*e_n

………………………..

а_n1*e₁+a_n2*e₂+…+a_nn*e_n

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A=..…………...

a_n1 a_n2 … a_nn

Матрица А наз матрицей опер f в базисе е₁, е₂… е_n

Обозначим столбец вект базиса и столбец их образов

e₁ f(e₁)

[e]=… [f(e)]=… (*)

e_n f(e_n)

тогда [f(e)]=A[e]

Пр: пусть Н_α-опер вект простр

Н_α…,е₁, е₂… е_nЄV

f(e₁)=α*e₁₌ α*e₁+0*e₂+…+0*e_n

f(e₂)=0*e₁+…+0*e_n

…

f(e_n)=0*e₁+…+0*e_n

Пр2: пусть d/dx опер диф R_n[x]

1,x,x²…xⁿ

d/dx(1)=0=0*1+0*x+0*x²+…+0*xⁿ

d/dx(x)=1=1*1+0*x+0*x²+…+0*xⁿ

d/dx(x²)=2x=0*1+2*x+0*x²+…+0*xⁿ

…

d/dx(xⁿ)=n*x^n-1=0*1+0*x+0*x²+…+n*x^n-1+0*xⁿ

Теорема:f лин опер n мерного прост над полем Р е₁, е₂… е_n базис пространства V, xЄV, тогда координ строка вектора от х в базисе е₁, е₂… е_n=координ строке х в этом базисе умножаем на матрицу А, т.е. (f(x))=A*(x). В разных базисах оператор имеет разную матрицу,но сущ связь.

Теорема: пусть f лин оператор n мерного пространства над Р, е₁, е₂… е_n и е^’₁, е^’₂… е^’_n 2 различных базиса прост V.T-это матрица перехода от базиса е к е^’,если

А матрица перехода от е к е^’.Если А мат опре f в базисе е₁, е₂… е_n, а матрица В матрица опер f^’ в базис е^’₁, е^’₂… е^’_n,то верна формула В=ТАТ^-1