Вопрос 34:Координаты образа вектора при дейсвии линйного оператора

Теорема: пусть f- лин-ый оператор n-мерного пр-ва V над Р , e₁,e₂,…,e_n V-базис V,вектор xV,тогда координатная строка F(x)в базисе e₁,e₂,…,e_n=корд. строке вектора x в этом базисе, умноженной на матрицу А лин-го оператора f в этом базисе (f(x))=A(x)

В разных базисах операторы имеют разные матрицы.

Вопрос 35:Изменение матрицы оператора при замене базиса

Теорема: пусть f-лин-ый оператор n-мерного векторного пр-ва V над Р e₁,e₂,…,e_n и e₁’,e₂’,…,e_n’ – 2 различных базиса V. T- матрица перехода от е к е' , если А- матрица f в базисе е, а матрица В – в базисе е' , то верна формула :

В=Т А Т ^{- 1}

36.Ядро и образ линейного отображения.

Опред: пусть f это лин отображ пространства V в W множ

Ker f={xЄV/f(x)=θ,θЄX}

Наз ядром лин отображ пространства

Im f={f(x)ЄW.для всех xЄV}

Пр:1) рассмотрим нул отображ θ:VW,Ker θ=V, Im θ={θ^’}

2)рассмотрим опер гомотетии Н_α:VV,α≠0,Ker Н_α={θ}, Im Н_α=V

3)опре дифф d/dx,R_n[x],Ker d/dx=R₀[x],Im d/dx=R_n-1[x]

Лемма: ядро и образ лин опер явл под прост V

Док: f: VV Ker f={xЄV/f(x)=θ}<=V

1)для всех x,yЄKer f; x+yЄV f(x+y)=f(x)+f(y)=θ+θ=θ x+yЄKer f

2)для всех xЄKer f для всех αЄP dxЄV f(αx)=αf(x)=αθ=θ αxЄKer f,

Im f={f(x)ЄV/для всех xЄV}

1)для всех f(x),f(y)ЄIm f(x)+f(y)=f(x+y)ЄIm f

2)для всех f(x)ЄIm f,для всех αЄР

Рассмотрим αf(x)=f(αx)ЄIm f

На практике ядро и образ обычно наход с нал след теории

Теорема: пусть f лин опер n мерного пространства над полем Р.А –это матрица в базисе е₁, е₂… е_n. Тогда:

1)Im f=l(f(е₁), f(е₂)… f(е_n));2)xЄKer f т и т т когда для него вып след равенства А*х=θ

37. Ранг и дефект лин оператора

Опред:рангом лин опер f конечновект пространства V наз размерность подпростр Im f .

Дефектом лин опер f наз размерность подпрост V (Ker f) rank f=dim Im f det f=dim Ker f так обознач.

Теорема: Сумма ранга и дефекта лин опер f конечновект прост V =размерности т.е. rank f+det f=dim V.

38. Действия над лин опер и их связь с действиями над матрицами

Опред:Пусть f,g это линопер простр V над полем P.Суммой опер f,g наз отображ (f+g)постр V в себя опред формой (f+g)(*)=f(x)+g(x), для всех хЄV.Произвед скаляра λf прост V в себя опред формой (λf)=λf(x) для всех хЄV.

Лемма:если f,g лин опер прост V над полем Р, λЄР, то отображ (f+g) и λf тоже явл лин опер.

Док: f(αx+βy)=αf(x)+βg(y) для всех x,yЄV, для всех α,βЄP

(f+g)(αx+βy)=f(αx+βy)+g(αx+βy)=αf(x)+βf(y)+αg(x)+βg(y)=α(f+g)(x)+β(f+g)(y).

(λf)(αx+βy)=λf(αx+βy)=λαf(x)+λβf(y)=α(λf)(x)+β(λf)(y).

В дальнейшем множ всех лин опер будем обознач через Hom_pV имя L(V).

Если мы проверим оксиому век простран, то можно Hom_pV само явл вект простр над полем Р.Относит опер f.

Лемма: пусть f,g-лин опер вект прострV,λЄP мат А,В-мат опер f,g в базисе е₁,е₂…е_n тогда опер (g+f) в данном базисе будет иметь мат А+В, λf=λA.

Теорема:пусть V –это n мерное век прост над полем Р Hom_pVM(n,P)это значит:

-изоморфно множ всех квад n с Эл из поля Р.

Опред: пусть f,g- лин опер вект прострV произв f,g наз отображ f,g опред формой (fg)(x)=f(g(x)) для всех xЄV.

Лемма1:если f,g лин опер то f,g явл тоже лин оператором.

Док:рассм (fg)(αx+αy)=f(g(αx+βy))=f(αg(x)+βg(y))=α(gf)(x)+β(gf)(y)

Лемма2:лин опер f,g прост V над полем Р имеют мат АиВ сответсвенно,тогда лин опер f,g в данном базисе будет иметь мат ВА.

Лиин опер f прост V над полем Р обратн, если сущ лин опер g прост V такой что fg=gf=εтожд отображ опер g-наз обрат к опер f т.е.g=f^-1. Тогда мат обрат опер будет явл обрат мат. Таким образом мат обрат опер явл невырожд

Теорема:лин опер fЄHom_pV обратим, т и т т к f явл автоморфизмом простран V.

Замеч:множ всех автоморф будем обознач Aut_pV.