25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора

Опр-е: пусть V- вект пр-ва¥ над полем P. C-ма в-ров е₁,e₂,…,e_n (*1) назыв-ся базисом пр-ва V, если:

1. с-ма в-ров (1) лин-но независима;

2. в-р пр-ва V линейно выр-ся через в-ра с-мы (1);

Пример

1. В пр-ве Rⁿ

e₁(1,0,0,…,0), e₂(0,1,0,…,0), e_n(0,0,0,…,1) явл базисом, т.к.

1. Лин-но незав-ма

2. ¥ x€Rⁿ, x=(x₁,x₂,…,x_n)=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n

2.. Rⁿ[x]; 1,x,x²,…,xⁿ

m(x) € Rⁿ[x], то

m[x]=a₀1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ – разл-е по векторам выбр с-мы – базис

3.. пр-во V³, любые 3 некомпл. В-ра образ-т базис данного пр-ва

Т-ма: В вект пр-ве все базисы сосотоят из одного и того же числа в-ров

Опр-е: Вект пр-во назыв-ся n-мерным, если в нем есть базис, состоящий из n в-ров.

Число “n” называется размерностью пр-ва, нулевое пр-во называется нульмерным. Если пр-во V содерж. Любое число лин-но независ в-ров, то оно назыв бесконечно-мерным. Обозначается разм-ть dim V=n, V_n, dim V=∞

Пример

dim V³=3, dim Rⁿ=n, dim Rⁿ[x]=n+1, dim R[x]= ∞, dim C_[a,b]= ∞

Т-ма: В n-мерном вект пр=ве:

1. Каждую лин-но незав-ю с-му в-ров можно дополнить до базиса

2. Любая лин-но незав-я с-ма из n в-ров явл-ся базисом

Сл-вие: В n-мерном вект пр-ве любая с-ма из n+1 в-ра будет лин-но зависимой.

26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности

След т-ма показ-т, что при фикс размере поля Р и разм-ти n сущ-ет единств с точн-ю до изоморфизма пр-во над полем Р

Т-ма: 2 лин пр-ва V и V' над одним полем изоморфны титтк имеют одинак-ю разм-ть

Пусть V_n- пр-во над полем Р, е₁,e₂,…,e_n – базис, тогда x€ V_n

X= ₁e₁+₂e₂+…+_ne_n где _i€P, i=1…n;

Такое представление в-ра x наз-ся разложением по в-рам базиса е₁,e₂,…,e_n , коэфф-ты ₁,₂,…, _n – назыв-ся коорд-ми в-ра x в этом пр-ве

Т-ма: Коорд-ты в-ра в заданном базисе опред-ют однозначно.

Док-во от противного

Допустим, ₁e₁+₂e₂+…+_ne_n (*) = β₁e₁+β₂e₂+…+β_ne_n (**), где _i β_i€ P,_i ≠β_i

(*) – (**) = (₁ – β₁)e₁ + (₂ – β₂ )e₂ +…+(_n – β_n)e_n = θ, _i – β_i =0, _i = β_i , i=1…n.

Противоречие. ЧИТД

Зам 1: посл-ть в-ров в базисе предполагается заданной, т.е.

е₁,e₂,…,e_n и е₂,e₁,…,e_n – различны.

Зам 2: разложение в-ров удобно записывать в матричном виде (x)=(₁,₂,…, _n),

[e]= x = ₁e₁+₂e₂+…+_ne_n= (x)[e] – коорд строка и базисный столбец

Т-ма:

1. При сложении в-ров в одном базисе соотв корд-ты складываются

2. При умножении в-ра на скаляр, все корд-ты умножаются на этот скаляр

т.е. 1. (х+у) = (х)+(у);

2. (x) = (x); x,y € V, € P

27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса

Т-ма:В n-ом вект простр-ве:1.Каждую лин-но незав-ю с-му в-ров можно дополнить до базиса;2.Любая лин-но незав с-ма из n в-ров ­—базис.

Следствие:В n-ом векторном пространстве любая система из n+1 вектора линейнозависима.

Теорема:Два линейных пространства V и V’, над одним полем изоморфны т.и т.т., когда имеют одинаковую размерность.

Пусть —линейное пространство над полем P, размерности n — ,,..., — базис.Все x, принадлежащих , можно представить : x=++...+, где принадлежащих Р, i=1...n.Такое представление x называется разложением по векторам базиса ,,...,. , — координаты вектора x в данном базисе.

Теорема:Координаты вектора в заданном базисе определён однозначно.

Док-во: От противного.x=++...+(*)=++...+(**), где принадлежат Р, i=1...n,. (*)-(**)=++…+=θ, следовательно =0, т.е. для i=1...n.

Замечание 1:Последовательность векторов в базисе предполагается заданной ,,..., и ,,..., — разные.

Замечанние 2:Умножение вектора по векторам базиса удобно записывается по векторам базиса. (x)=(, ).[e]=(). X=++...+=(x)[e].

Теорема:1.При сложении векторов в одном базисе, складываются соответствующие координаты. 2. При умножении вектора на скаляр, все его координаты умножаются на этот скаляр((αx)=,для всех x принадлежащих V, α принадлежащих Р).

Определение:Пусть даны 2-а базиса:,,..., и ,, — два базиса над полем V. ,,, по векторам ,,..., : =++...+, =++...+=++...+Составим матрицу:А=. Матрица А называется матрицей перехода от базиса,,..., к базису ,, :[]=A[e].

Теорема: Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому невырождена.

Док-во:Дано [] =A[e], тогда существует В: [e] =В[].Существует [] =AВ[], следовательно Е=АВ: В=едовательно ӏАӏ*ӏВӏ=ӏЕӏ=1.

Вектор в разных базисах имеет разные координаты.Связь между координатами вектора в разных базисах:Теорема:Пусть (х)—координатная строка вектора х в базисе(,,...,), а ()— в (,,.Если А — матрица перехода от базиса (,,...,) к(,,, то (х)= ()А, а ()= (х). «Старая» координатная строка = «новой» умноженой на матрицу перехода от старой матрицы к новой и «новая»= «старая» умноженая на матрицу перехода от новой.