9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля

Классификация фигур 2-го порядка

Фигурой 2-го порядка на пл-ти назыв-ся мн-во точек коорд. Пл-ти ХУ, корд-ты которой удовлетв-ют ур-ю:

ах²+вху+су²+dy+ey+f=0 (1), где а²+в²+с²≠0

Покажем, что с помощью преобр-я поворотом, в (1) можно избавиться от х*у

a()²+b()()+

+c()²+d()+e()+f=0 (1’)

x’*y’:-2acos +bcos²- bsin²+2csin=0;

(c-a)sin2+bcos2=0;

tg2=, a≠c, угол пов-та сущ-ет, задача решаема всегда, получаем

a'x'²+c'y'²+d'x'+e'y'+f'=0; (2)

a’≠0,c’≠0;

a’(x’²+2x’+()²)-+ c’(y’²+2y’+()²)-+f’=0;

a’(x’+)²+ c’(y’+)²+( : f”

- преобр-е явл-с паралл. переносом (x',y')->XY, т.О(0,0)->O’(- , -); a’X²+c’Y²+f”=0 ; (3)

Рассм-м 2 подслучая:

а) если f”≠0, -> + = 1 ; (4)

Ур-е (4) может опред-ть след. Линии:

-действит. Эллипс (оба знамен-ля положит) =1;

-мнимый эллипс (отриц) +=-1;

-гипербола, когда знам-ли имеют разный знак;

б) f''=0; a’X²+c’Y² =0;

-если a’,c’ >0,<0, то (0,0) – задает пару мнимых пересек. Прямых с действ. Точкой пересечения.

-если a',c' – разных знаков, то Y=±X; - пара пересек. Действ. Прямых.

10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю

Классификация фигур 2-го порядка

Фигурой 2-го порядка на пл-ти назыв-ся мн-во точек коорд. Пл-ти ХУ, корд-ты которой удовлетв-ют ур-ю:

ах²+вху+су²+dy+ey+f=0 (1), где а²+в²+с²≠0

Покажем, что с помощью преобр-я поворотом, в (1) можно избавиться от х*у

a()²+b()()+

+c()²+d()+e()+f=0 (1’)

x’*y’:-2acos +bcos²- bsin²+2csin=0;

(c-a)sin2+bcos2=0;

tg2=, a≠c, угол пов-та сущ-ет, задача решаема всегда, получаем

a'x'²+c'y'²+d'x'+e'y'+f'=0; (2)

2. Когда a'=0, c'≠0, тогда ур-е (2) принимает вид c'y'²+d'x'+e'y'+f'=0

a) Пусть d’≠0

c’(y’²+2y’+()²) +d’x’+=0; :f’’;

c’(y’+)²+d’(x’+ )=0;

в т.О’ (- ; -) – парал перенос, - парабола

c'Y+d’X=0

б) d'=0

dy’²+e’y’+f’=0

c’(y’²+2y’+()²) +=0; :f’’;

c’(y’+)²+f’’=0;

- парал перенос, в т O'(0,- );

c’Y²+f’’=0 Y²= - ≤0;

-2 парал прямые

-2 мнимые парал прямые

-2 совпад парал прямые

Вывод: при упрощ-и общ ур-я фигуры 2 порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т, могут быть получены:

1. эллипс ( + = 1);

2. мнимый эллипс ( + = -1);

3. гипербола ( -- = 1 );

4. парабола ( y²=2px );

5. пара мнимых пересек прямых с действ точкой пересеч ( + = 0 );

6. пара пересек прямых ( -- = 0);

7. пара парал прямых (y²=a²);

8. пара парал мнимых прямых (y²=- a²);

9. пара совп парал прямых (y²=0)

11. Поверхность вращения.

фигура в пространстве образ вращ кривой около оси назыв поверхностью вращения; поверхностью в пространстве XYZ будем считать множ точек этого пространствакоорд котор удолетвор ур F(X,Y,Z)=0; где F – много чл 3-х переменных, если степень =1 это поверхность если =2 то поверхность 2-ого порядка;Всякая кривую в пространстве можно рассматривать как пересичение 2-ух поверхностей т.к она задаётся сист 2-ух ур;;если это возможно то ур можно решить относит одной переменной – напр Z : (*);рассмотрим способ получ поверхн вращ когда кривая вращ вокруг оси Z; пусть тМ(x,y,z)-производн т поверхности вращения;через тМ проведём плоскость _|_ оси Z, эта плоскость пересик пов вращ по окружн с центром в тО на оси OZ,пусть тN(xyz)-т пересеч получ опр с кривой Фигур т.е тN косн на поверх вращ; тогда имеет место равенство O'M²=XX+YY;O’N²=xx+yy;O’M=O’N(1);т.к тN€Ф то * подставимв(1)

XX+YY=Υ²(Z)+ψ²(Z);