48.Сопряжонный лин оператор
Определение.
Пусть f
- линейный оператор евклидова пространства
V.
Линейный оператор f*
наз. сопряженным к f,
если для
2-х векторов
выполняется равенство (f(x),y)=(x,f*(y)).
Теорема.
Для
лин. оператора f
конечномерного евкл. пр-ва V
сущ ! лин. оператор f*.
При этом матрица оператора f*
в ортонормированном базисе будет
транспонированной по отношению к матрице
оператора f
в этом базисе (доказательство на
самостоятельное изучение).
Пример. 1) Е- тожд-ый оператор евкл. пространства V, то Е* =Е т.к.
(Е (x),y)=(x, Е*(y))..
2)
пусть f
- оператор поворота евклидовой плоскости
на угол
.
В ортонормированном базисе
оператор f
имеет матрицу
,
т.е. Сопряжённая матрица:
,
f*-
оператор поворота плоскости на угол
.
49.Ортогональны лин опер
Определение.
Линейный оператор f
евклидова пространства V
называется ортогональным, если он не
изменяет скалярного произведения
векторов, т.е. (f(x),f(y)=(x,y).,
для
.
Теорема. (Первый критерий ортогональности линейного оператора).
Линейный
оператор f
евклидова пространства V
ортогонален
он сохраняет длины векторов, т.е.
||f(x)||=||x||.
Доказательство.
Пусть f
- ортогональный оператор пространства
V,
тогда для
(x,x)=(f(x),f(x));
из
неотриц. ||x||=||f(x)||.
Обратно, пусть f
- линейный оператор, сохраняющий длины
векторов, т.е. |||f(x)||=||x||.
для
.
Тогда для
верно, что (x+y,x+y)=(f(x,y),f(x,y))
по свойствам скалярного произведения:
аналогично
.
Т.к. по предположению f
сохраняет длины векторов, то получаем
(x,y)=(f(x),f(y)).
ч.т.д.
Пример. 1) тожд-ый оператор евклидова пространства ортогонален;
2)
оператор поворота евклидовых плоскостей
на угол
ортогонален, т.к. сохраняет длины
векторов.
Теорема. (Второй критерий ортогональности линейного оператора).
Для
того, чтобы линейный оператор f
конечномерного евклидова пространства
V
был ортогонален
оператор f
переводим ортонормированный базис.
Доказательство. Осуществляется проверкой.
Определение.
Действительная матрица А называется
ортогональной, если
.
Теорема. (Третий критерий ортогональности линейного оператора).
Линейный
оператор f
конечномерного евклидова пространства
V
ортогонален
ортогональна матрица оператора f
в некотором ортонормированном базисе.
(Без доказательства).
50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
Определение.
Линейный оператор f
евклидова пространства V
называется самосопряженным, если он
совпадает со своим сопряженным оператором
,
т.е.
(f(x),y)=(x,f(y))
.
Пример. 1) тожд. оператор является самосопряженным;
2)
оператор гомотетии
евклидова пространства V
является самосопряженным для
.
Действительно, для
.
Определение.
Квадратная матрица A=
называется симметрической, если
.
Очевидно,
матрица А является симметрической
A
=A.
Теорема.
Линейный оператор f
евклидова пространства V
является самосопряженным
матрица его в ортонормированном базисе
пространства V
является симметрической.
Доказательство. 1) необходимость. Пусть f - самосопряженный оператор пространства V и пусть А – его матрица в некотором ортонормированном базисе. По свойству сопряженных векторов, оператор f* имеет матрицу AТ. Т.к. f=f* и матрица определяет оператор, то AТ=A, т.е. А – симметрическая матрица.
2) дост-ть. В обратном порядке.
На важную роль ортогональных и самосопряженных операторов в общей теории линейных операторов евклидовых пространств указывает след.
Теорема. Любой линейный оператор f конечномерного евклидова пространства V можно представить в виде f=hg, где h – ортогональный оператор, g – самосопряженный оператор пространства V . (без доказательства).
Такое представление оператора f называется полярным разложением.
Следствие.
действительную квадратную матрицу
можно представить в виде произведения
ортогональной и симметрической матриц.