Тепловое излучение

Абсолютно черное тело. Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии нагретых тел, называется тепловым. Пусть излучающее тело, находится в зам­кнутой полости с идеально отражающими стенками (рис. 1). Выделим мысленно внутри полости площадку. При равновесном излучении количество лучистой энергии, проходящей в 1 с через площадку в одном направле­нии, равно энергии, проходящей через эту же площадку в обратном направлении. Тепловое излучение – это единственный вид излучения, которое может быть в термодинамическом равновесии с телами. Тепловое излучение характери­зуется распределением энергии по спектру излучения и энергией, излучаемой в единицу времени с единицы площади поверхности.

Потоком излучения Ф называется средняя по времени мощность излучения:

(1)

где W - энергия, излучаемая за время t.

Энергетической светимостью тела называется энер­гия, излучаемая в единицу времени единицей поверхности тела

. (2)

Подставляя (1)(2), получаем (3)

Испускательная способность (она же спектральная плотность энергетической светимости) тела описывает распределение энергии по спектру излучения:

. (4)

Очевидно, r_ω и R связаны интегральным соотношением:

(5)

где  - циклическая частота, связанная с длиной волны:

Падающее на тело излучение может пропускаться (если тело прозрачно), поглощаться и отражаться. Введем коэффициенты:  - пропускания,  - отражения,  - поглощения, где каждый коэффициент определяет соответствующую долю потока излучения: . Если =0, =0, то тогда =1, и тело только поглощает. В общем случае зависит от  и Т и называется поглощательной способностью. Абсолютно черным называется тело, полностью поглощающее падающий на него поток излучения. Для абсолютно черного тела

(6)

Моделью абсолютно черного тела является замкну­тая полость с малым отверстием, стенки которой поддерживается при постоянной температуре. Излучение, падающее извне, полностью поглотится стенками полости вследствие многократных отражений и поглощений стенками. Излучение, выходящее через отверстие, будет эквивалентно равновесному излучению абсолютно черного тела при этой температуре.

Закон Кирхгофа. Рассмотрим равновесное тепловое излучение, которое нахо­дится между двумя бесконечными плоскопараллельными пласти­нами из разных материалов, имеющими одинаковую температуру (рис. 2). Пусть - испускательная и поглощательная способности левой (первой) пластины; - испускательная и поглощательная способности правой (второй) пластины. На единице поверхности пластины 2 в единицу времени поглощается электромагнитная энергия . Аналогичная величина для пластины 1 равна . При тепловом равновесии энергия, перетекающая слева направо, равна энергии, проходящей справа налево:

,

(7)

Это - закона Кирх­гофа: отношение испускательной способности любых тел к их поглощательной способности не зависит от природы тела, а является для всех тел одной и той же функцией температуры и частоты. Функция f(,T) называется универсальной функцией Кирх­гофа. Для абсолютно черного тела введем значок 0, тогда . Так как для абсолютно черного тела , то . (8)

Таким образом, универсальная функция Кирх­гофа – это и есть испускательная способность абсолютно черного тела.

Закон Стефана-Больцмана устанавливает связь между энергетической светимостью и температурой тела: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температу­ры

, (9)

где =5,6710^-8 Вт/м²К⁴. Если (9) записать в виде где 0<k<1, то, зная k, можно вычислять для тел, не являющихся абсолютно черными.

Спектральная плотность энергетической светимости ( или ) может быть введена не только для интервала частот (4), но и для интервала длин волн:

. (10)

Закон смещения Вина: длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолют­но черного тела, обратно пропорциональна абсолютной темпе­ратуре тела

, (11)

где С=2,910^-3 мК. На рис. 3 в соответствии с (11) ₀₂>₀₁,  Т₁>Т₂. Площадь под кривой численно равна энергетической светимости абсолютно черного тела при соот­ветствующей темпе­ратуре.

Формулы Рэлея-Джинса и Планка. Чтобы найти вид функции Рэлей и Джинс исходили из классической теоремы о равном распределении внутренней энергии по степеням свободы, где на каждое электромагнитное колебание прихо­дится в среднем энергия kТ (по 0,5kT на электрическую и магнитную энергию волны). Полученная формула

(12)

согласуется с опытом только при больших длинах волн (малых частотах). На рис. 4 представлены опытная зависимость r_о, (кривая 1) и кривая 2, полученная из формулы (12). Интегрирование формулы (12) в пределах от 0 до  дает для энергетической светимости бесконечно большие значения, что иронично называется "ультрафиолетовой катас­трофой". На самом деле при малых длинах волн не верна классическая формула (12). Чтобы получить согласующуюся с экспериментом формулу для f(,Т) Планку пришлось ввести гипотезу, коренным образом противоречащую представлениям классической физики. В качестве модели Планк использовал полость с зеркальными стенками, внутри кото­рой находятся осцилляторы, которые являются элементар­ными излучателями и поглотителями электромагнитного излучения. Планк допустил, что осциллятор обладает дискретным спектром значений энергии и может изменить свою энергию только на величину, кратную где - постоянная Планка. В итоге была полу­чена формула Планка

. (13)

При малых  (больших ) эта формула переходит в формулу Рэлея-Джинса (12). Из формулы Планка можно получить эксперимен­тальные законы Стефана-Больцмана (интегрированием формулы (13) в пределах от 0 до ) и смещения Вина (если выразить универсальную функцию Кирхгофа в виде и решить задачу на нахождение экстремума). Гипотеза Планка о том, что электромагнитное излучение испускается и поглощается в виде квантов и вывод формулы (13) явились первым шагом в становлении квантовой физики.