Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию . На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию: Частные производные первого порядка от функции  равны: Приравняем их к нулю и решим систему уравнений: Выпишем отдельно первое уравнение системы и найдем его корни: Подставим найденные значения переменной  во второе уравнение системы:  и  Таким образом, получили две точки  и , в которых будет продолжено исследование функции  на экстремум. На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции : На третьем шаге для каждой из точек  и  установим наличие экстремума функции  (для этого вычислим значения вторых производных и найдем знак дискриминанта  в указанных точках). 1) Для точки : Так как дискриминант больше нуля и , то функция  имеет минимум в точке : . 2) Для точки : Так как дискриминант меньше нуля, то функция  не имеет в точке ни минимума, ни максимума. Ответ: в точке  функция  имеет минимум.

 

  Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности  в данной точке P (x₀, y₀, z₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка  P (x₀, y₀, z₀) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.

Пусть х = х(t), у = у(t), z = z(t) –  параметрические уравнения линии L.

Предположим, что: 1) функция F(х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции  х(t), у(t), z(t) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s , то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x(t), у(t), z (t)] = 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t, используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x₀, y₀, z₀):

.

Пусть точке Р соответствует значение параметра t₀, то есть x₀ = x (t₀), y₀ = y (t₀),    z₀ = z (t₀). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р, примет вид

.                  (17)

Формула (17) представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них – постоянный вектор

,

не зависящий от выбора кривой на поверхности  .

Второй вектор –  касательный в точке Р к линии L, а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

При введённых обозначениях равенство (17) перепишем как . Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы  и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые (см. рис. 54), проходящие через точку Р на поверхности s , мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же  от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы

расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s , а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.

Определение 2. Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

;         (18)

(18) – уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x₀, y₀, z₀) к поверхности s , заданной уравнением F(х, у, z) = 0;

;              (19)

19. – уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s .

Пример 16. Найти уравнение поверхности, образованной вращением параболы z² = 2p (y +2) вокруг оси оу, вычислить при условии, что точка М(3, 1, - 3) принадлежит поверхности. Найти уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в точке М.

Решение. Используя правило записи поверхности вращения (см. тема 12), получим: z² + x²= 2p (y +2). Подставив координаты точки М в это уравнение, вычислим значение параметра р: 9 + 9 = 2р(1 + 2). Записываем окончательный вид поверхности вращения, проходящей через точку М: z² + x²= 6 (y +2).

Теперь найдём уравнения нормали и касательной плоскости по формулам (19) и (18), для чего вычислим сначала частные производные функции

F(x,y)  = z² + x²- 6 (y +2):

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид

6(х -  3) -  6(y -  1) -  6(z + 3) = 0 или x -  y -  z -  5 = 0;

уравнение нормали  или .