Полный дифференциал

Перевод

Полный дифференциал

        функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение

         

        в случае, когда оно отличается от полного приращения (См. Полное приращение)

         Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)

        на величину, бесконечно малую по сравнению с

         

"Полный дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков"

 

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:  . Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:  . Пусть задана функция  . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция  получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: . Функция , полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):  , где  и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке. Линейная (относительно  и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается : , где  и  – дифференциалы независимых переменных и , которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и . Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных  их четыре:

Примеры решения задач

Пример 1. Найти полный дифференциал функции . Полным дифференциалом  функции  называется линейная (относительно  и ) часть полного приращения функции: . Следовательно, для выполнения задания достаточно найти частные производные первого порядка от функции и подставить их в вышеприведенную формулу. Здесь и ниже использовалось правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования сложной функции одной переменной. Ответ: 

"Экстремум функции двух переменных"

 

Говорят, что функция  имеет максимум в точке , т.е. при  , если  для всех точек , достаточно близких к точке  и отличных от неё.

Говорят, что функция  имеет минимум в точке , т.е. при , если  для всех точек , достаточно близких к точке  и отличных от неё.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция  достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от  или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку  функция  имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка  является критической точкой функции , т.е. , тогда при : 1)  имеет максимум, если дискриминант  и , где ; 2)  имеет минимум, если дискриминант  и ; 3)  не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ; 4) если  , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).