Вычисление объемов тел

18.2.1. Объем телапо известным площадям поперечных сечений

Известны площади сечений S(x) телаплоскостями

18.2.2. Объем тела вращения

Криволинейная трапеция D,

 вращается вокруг оси ОХ

Криволинейная трапеция D,

 x = 0 вращается вокруг оси OY

Вычисление площади поверхности вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги L кривой y = y(x) (a £ x  b), выражается интегралом

Который удобно записывать в форме, , где dl- дифференциал длины дуги.

Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то достаточно произвести замену переменной в приведённой формуле, выразив соответствующим образом дифференциал длины дуги

 Пример 1. Вычислить площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса   вокруг оси Ох (а>b).

Решение. Разрешая уравнение эллипса относительно у, для у³0 получим

Отсюда

где величина   есть эксцентриситет эллипса.

В частности, при b®a эксцентриситет e стремится к нулю и 

так как при этом эллипс превращается в окружность, то в пределе получаем площадь поверхности шара (сферы):

  Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования

     Пусть функция f(x) непрерывна при a ≤ x < +∞. Тогда по определению полагают

     (2)

Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования, стоящий в левой части равенства (2), назваетсясходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.

     Интеграл  определяется аналогично:

     (3)

а интеграл

     (4)

при этом

     (5)

где a - любое число.

 Несобственный интеграл от неограниченной функции (НИ-2)       Определение НИ-2 (b - особая точка) 

     Формула двойной подстановки 

     Если F - непрерывная первообразная функции f на [a; b[, то

где 

     Степенной признак сравнения для положительных функций 

     Если  при  то при  интеграл  сходится, при  - расходится.

 Пределы функций нескольких переменных

Для того чтобы дать определение предела функции нескольких переменных, нужно напомнить общее определение базы предела и предела функции по данной базе. Пусть функция  имеет область определения  .

        Определение 7.8   Базой  называется такой набор множеств  , называемых окончаниями базы, что, во-первых, все  не пусты и, во-вторых, если  , то найдётся такое окончание  , что  .     

        Определение 7.9   Пусть функция  такова, что её область определения содержит целиком некоторое окончание базы  . Число  называется пределом функции  по базе  , если для любого, сколь угодно малого, числа  найдётся такое окончание  базы  , что при всех  выполняется неравенство  . Число  обозначается тогда

    

 Частные производные высших порядков

Частные производныеназывают частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом: