Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика.docx

Скачиваний:

Добавлен:

28.10.2018

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

16.3. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интеграл

— целые числа. Замена вида

где к — общий знаменательприводит к интегралу от рациональной функции Пример:

Аналогично поступаем, если вместо линейной функции ах

+ b стоит дробно-линейнаяИнтегрирование некоторых других иррациональностей см. в ОК № 16. Примеры:

Замечание. В 16.1 — 16.3 рассмотрены классы интегрируемых функций. Но можно привести многочисленные примеры интегралов от элементарных функций, которые существуют, но не выражаются через элементарные функции. Например,

— интеграл Пуассона,

— интегральный синус,

— интегральный косинус,

— интегральный логарифм,

интегралы Френеля,

Для их решения можно воспользоваться, например, разложением подынтегральной функции в ряд.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Основным понятием интегрального исчисления является все же не понятие неопределенного интеграла, а понятие интеграла определенного. Оно существенно сложнее и целесообразно предпослать ему некоторые задачи конкретного характера, которые выясняют необходимость введения этого понятия.

I. Задача о массе стержня

Если стержень однороден, то его истинная плотность одинакова во всех его точках и равна его средней плотности. У неоднородного же стержня истинная плотность p меняется от точки к точке. Если определять положение каждой точки M стержня с помощью расстояния x ее от одного из концов стержня (см. рис. 1), то его плотность p в точке x будет функцией от x, p = p(x). Поставим задачу, как, зная эту функцию и длину lстержня, найти его массу m.

При решении этой задачи будем считать плотность p(x) непрерывной функцией. Переходя к решению, разделим стержень точками x₁ < x₂ < ... <x_n_-1 (0 < x_k < l) на n небольших участков (см. рис. 2).

Для единообразия обозначений положим еще x₀ = 0, x_n = l, и пусть λ есть наибольшая из разностей x_k₊₁ - x_k. Отдельный участок [x_k, x_k₊₁] стержня приближенно можно считать однородным [т. к. из-за его малости (непрерывная) функция p(x) не успевает на нем сколько-нибудь заметно измениться]. Делая такое допущение, мы тем самым принимаем плотность p(x) на участке [x_k, x_k₊₁] за постоянную. Пусть значение этой постоянной есть p(ξ_k), где ξ_k есть произвольно выбранная точка участка [x_k, x_k₊₁]. Тогда масса участка [x_k, x_k₊₁] будет равна p(ξ_k)(x_k₊₁ - x_k), а полная масса стержня будет

Полученное выражение массы является, однако, лишь приближенным, т. к. на самом деле отдельные участки стержня не однородны. Тем не менее, чем короче эти участки, т. е. чем меньше число λ, тем более точным будет найденное выражение m. Отсюда следует, что точное значение массы таково:

Понятие определенного интеграла и его вычисление.

Определение и свойства.

S – область – криволинейная трапеция.

Интегральная сумма:

Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.

Т. “О существовании определенного интеграла”.

Если f(x) – непрерывна на отрезке (a,b), то определе нный интеграл существует и не зависит от порядка разбиения и выбора точек.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции.

Свойства определенного интеграла:

- аддитивность.
на

. “формула Ньютона-Лейбница”

, где F(x) – первообразная для f(x).

Доказательство:

- первообразная для f(x) по Т.3. Т.к. первообразные отличаются на const, то Пусть х=а. F(a)+c=0. c=-F(x). Пусть x=b

Методы вычисления определенного интеграла.

Замена переменных под знаком определенного интеграла.

Пример:

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пример:

Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Пример 19. Вычислить

Положим t=2-х². Тогда dt=d(2-х²)=(2-х²)'dx=-2xdx и xdx=-dt. Если х=0, то t=2-0²=2, и если х=1, то t=2-1²=1. Следовательно:

.Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Пусть «u» и «v»-две дифференцируемые функции от х. Тогда дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле (uv)| = u|v+ uv| .Отсюда, интегрируя в пределах от “а” до “в” , получаем в∫а(uv)|dx =в∫а u|vdx+в∫а uv|dx Т.к. ∫(uv)|dx =uv+с , то в∫а(uv)|dx =uvв|а ; поэтому равенство может быть записано в виде в∫а udv= uv в|а – в∫аvdu.Эта формула наз-ся формулой интегрирования по частям. Она применяется к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух сомножителей u и dv , чтобы отыскание фун-ии v по её дифференциалу dv и вычисление интеграла в∫аvdu составляли в совокупности задачу более простую , чем непосредственное вычисление интеграла в∫аudv.

Вычисление площадей плоских фигур

Квадрат.