Асимптоты
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий
|
|
, 
Прямая y = b называется горизонтальной
асимптотой графика
функции f (x) при x → +∞,
если 
Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной
асимптотой графика
функции f (x) при x → +∞,
если 
Аналогично
определяются горизонтальная и наклонная
асимптоты при x → –∞.
Построение графиков функций
Мы изучили графики элементарных функций. При построении графиков функций более сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана.
-
Найти область определения и область значений функции.
-
Выяснить, является ли функция четной (нечетной).
-
Выяснить, является ли функция периодической.
-
Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.
-
Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.
-
Вычислить производную функции
и
определить точки, в которых могут
существовать экстремумы. -
Найти промежутки монотонности функции.
-
Определить экстремумы функции.
-
Вычислить вторую производную
-
Определить точки перегиба.
-
Найти промежутки выпуклости функции.
-
Найти асимптоты графика.
-
Найти значения функции в нескольких контрольных точках.
-
Построить эскиз графика функции.
Свойства неопределенного интеграла
1°.
Производная от н.и. равна подынтегральной
функции, а дифференциал — подынтегральному
выражению:
2°.
в
частности,
Свойства 1°, 2° следуют из определения н.и.
3°. Н.и. от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и. от каждого слагаемого.
Докажем,
что
(Равенство
понимается с точностью до постоянного
слагаемого.) Действительно, по 1°:
Таким
образом,
левая и правая части имеют одинаковые производные и могут отличаться лишь постоянной
4°. Постоянный множитель можно выносить за знак н.и.:
5°.
Независимость вида н.и. от выбора
аргумента (инвариантность формы
интеграла):
где
имеет
непрерывную производную. Действительно,
по свойству инвариантности формы
дифференциала:
Частным
случаем 5° является
=
F(ax + b) + с.
Очевидно, учитывая, что d(ax + b) = a dx, получаем формулу
Таблица
основных неопределенных интегралов перед
Вами:
|
Интегрирование рациональных функций |
|
|
|
Для
интегрирования рациональной функции полиномы, используется следующая последовательность шагов:
целое выражение;
выражений;
используя метод неопределенных коэффициентов;
Рассмотрим указанные шаги более подробно. Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:
где Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде
где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
где формулы:
Интеграл помощью формулы редукции
|
|
Пример
1 |
|
|
|
Вычислить
интеграл Решение. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями: Следовательно, Тогда Теперь легко вычислить исходный интегр |
,
где P(x) и Q(x) –
-
правильная рациональная дробь. 
Затем
применяются следующие
может
быть вычислен за k шагов
с
.
