Сложение и вычитание

        По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:

(a₁ + b₁i ) + (a₂ + b₂i ) +...+  (a_n + b_ni ) = (a₁ + a₂ + ...+ a_n ) + (b₁+ b₂+...+ b_n ) i = a + bi

        Операция введена, так как получили элемент того же множества.

        Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a₁ + b₁i) – (a₂ + b₂i ) определяется из условия:

(x + iy) + (a₂ + b₂i ) = (a₁ + b₁i)  .

        Из правила сложения получаем:

x + a₂ = a₁, y + b₂ = b₁.   То есть x = a₁ – a₂,   y = b₁ – b₂ и разность

(a₁ + b₁i ) – (a₂ + b₂i ) = (a₁ – a₂ ) + (b₁– b₂) i.

Умножение комплексных чисел

        Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению  модулей сомножителей, а аргумент –  сумме аргументов сомножителей.

        Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

Геометрическое изображение комплексных чисел

Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рисунке, где точка A изображает число 4, а точка B число -5. Эти же числа можно изображать также отрезками OA, OB, учитывая не только их длину, но и направление.

Каждая точка M числовой прямой изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок OM соизмерим с единицей длины, и иррациональное если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остается места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изображать на числовой плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом на обеих осях.

Комплексное число a + b·i изображается точкой M, у которой абсцисса x равна абсциссе a комплексного числа, а ордината y равна ординате bкомплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа, формула

Сражайтесь с коварными монстрами. Присоединяйтесь - драконы зовут Вас

021.zovdrakona.ru

Абсцисса a и ордината b комплексного числа a + b·iвыражаются через модуль r и аргумент φформулами:

1.	a= r·cos(φ)
2.	b= r·sin(φ)

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде:

3.	a+b·i= r·(cos(φ)+ i·sin(φ))

Это так называемая, нормальная тригонометрическая форма, или просто,тригонометрическая форма комплексного числа.

В противоположность тригонометрической форме выражение вида a + b·iназывается алгебраической или координатной формой комплексного числа.