Повна і зведена система лишків. Функція Ейлера

У кожному класі лишків за модулем m можна знайти найменший невід‘ємний лишок – остачу від ділення на : де і абсолютно найменший лишок – лишок, який за абсолютною величиною менший від всіх абсолютних величин лишків класу .

Наприклад, у класі за модулем

найменшим невід‘ємним лишком є число (яке задовольняє нерівності ), а абсолютно найменшим лишком є число -4, бо його абсолютна величина менша від абсолютних величин всіх інших лишків даного класу.

Означення 5. Система лишків, утворена з m чисел, узятих по одному з кожного класу, називається повною системою лишків за модулем .

Скорочено повну систему лишків позначають ПСЛ. При повними системами лишків є, наприклад, такі системи чисел:

Перша складається з найменших невід‘ємних лишків усіх класів, друга система – з абсолютно найменших лишків, третя – з довільних 9 чисел, узятих по одному з кожного класу:

Теорема 5. Якщо , довільне ціле число, – пробігає за модулем , то й лінійна форма також пробігає за модулем .

Доведення. Нехай система чисел

(6)

утворює ПСЛ за модулем m. Числа попарно не конгруентні. Але тоді й числа

утворюють ПСЛ. Справді, цих чисел , і вони попарно не конгруентні між собою.

Якби

то на підставі властивостей 3 і 8 (лекція 1) звідси випливало б, що , а це неправильно. Теорему доведено.

Означення 6. Найбільшим спільним дільником класу називається найбільший спільний дільник чисел і . Якщо , то називається взаємно простим з модулем .

Означення 7. Система лишків, узятих по одному з кожного класу, взаємно простого з модулем, називається зведеною системою лишків.

Скорочено позначається така система ЗСЛ.

Приклад. .

Відповідно до цього класи взаємно прості з модулем m=8.

Означення 8. Функцією Ейлера називається функція, визначена на множині натуральних чисел; значення є кількість невід‘ємних чисел, менших за і взаємно простих з .

Легко встановити, що , так як числа 1, 3, 5, 7 взаємно прості з 8 і менші 8. і т. д.

Очевидно, число дорівнює кількості чисел, які утворюють ЗСЛ за модулем m.

Теорема 6. Якщо , пробігає ЗСЛ за модулем , то лінійна форма також пробігає ЗСЛ за модулем .

Доведення. Нехай числа

(7)

утворюють зведену систему лишків за модулем . Всі взаємно прості з числом . Крім того, всі ці числа попарно не конгруентні між собою за модулем :

Але тоді і числа

(8)

де , утворюють ЗСЛ за модулем . Дійсно, всіх чисел в (8) і всі вони взаємно прості з числом : якщо і то Крім того, числа не конгруентні між собою за модулем . Якби то за властивістю 8 (лекція 1) звідси випливало б, що а це суперечність. Отже, (8) являє собою ЗСЛ за модулем . Теорему доведено.

Властивості функції Ейлера

В лекції 4 модуля 1 було введене поняття числових функцій , які визначені для всіх натуральних значень аргументу; було розглянуто деякі числові функції.

У теорії чисел використовують ряд спеціальних функцій, які дають важливу арифметичну характеристику цілих чисел. Однією з таких функцій є (читається „ант’є від х”), яка задана на множині всіх дійсних чисел; – це найбільше ціле число, менше за . За допомогою функції можна, наприклад, вказати степінь, з яким у канонічний розклад числа n! входить простий множник . Цей степінь дорівнюватиме такому натуральному числу:

Наприклад. Якщо n=7, то просте число 2 в канонічний розклад числа входить в степені 4, бо:

Число 3 входить у степені , а числа 4, 5 і 6 у степені 1, бо , . Отже, число 7! В канонічному вигляді можна записати так: .

Серед числових функцій особливу роль відіграють мультиплікативні функції.

Означення 9. Числова функція , визначена на множині натуральних чисел, називається мультиплікативною, якщо для кожного і для будь-яких взаємно простих натуральних чисел і

(9)

Мультиплікативні функції мають такі властивості:

1) Якщо - мультиплікативна функція, то

2) Якщо - мультиплікативна функція і числа попарно взаємно прості, то

(10)

3) Добуток мультиплікативних функцій є мультиплікативна функція.