1.5 Взаємне розташування прямих

Розглянемо взаємне розташування прямих. Нехай у просторі задано: пряма – точкою та направляючим вектором , пряма – точкою та направляючим вектором . За векторами , , можна з’ясувати взаємне розташування даних прямих. Можливі чотири випадки: 1) прямі співпадають, 2) прямі паралельні, 3) прямі перетинаються, 4) прямі мимобіжні.

1. Якщо прямі співпадають, то

вектори паралельні: . Координати вектора .

2. Якщо прямі паралельні, то вектори і паралельні, але не паралельні вектору .

3. Якщо прямі перетинаються, то вектори – компланарні, отже їх змішаний добуток дорівнює нулю:

.

4. Якщо прямі мимобіжні, то вони не компланарні, отже їх змішаний добуток не дорівнює нулю:

1.6 Кут між двома прямими у просторі

Нехай прямі задано канонічними рівняннями:

;

.

Напрямними векторами цих прямих будуть вектори , .

Кут між прямими і визначається як кут між напрямними векторами цих прямих.

(6)

Із формули (6) дістаємо умови паралельності і перпендикулярності прямих і :

• якщо , то ;

• якщо , то .

Приклад. Знайти косинус гострого кута між прямими:

Розв’язання. Кут між двома прямими визначається формулою(6), в якій потрібно взяти Підставивши ці значення у формулу(6), дістанемо:

§2 Пряма і площина у просторі

2.1 Умова належності двох прямих площині

Нехай прямі задано канонічними рівняннями:

Пряма визначається точкою і напрямним вектором . Пряма визначається точкою і напрямним вектором .

Оскільки прямі і повинні належати площині, то точки і мають належати цій площині, а значить і вектор повинен належати площині. Вектори і паралельні площині, значить вектори , , будуть компланарними, а тому їх мішаний добуток дорівнює нулю:

(7)

Якщо величини , , непропорційні величинам , , , то співвідношення (7) є необхідною і достатньою умовою перетину двох прямих у просторі.

2.2 Кут між прямою і площиною

Нехай пряму задано канонічними рівняннями , площину – загальним рівнянням .

Тоді напрямним вектором прямої буде вектор , а нормальним вектором площини буде вектор .

Кутом між прямою і площиною називається будь-який із двох суміжних кутів, які утворені прямою та її проекцією на цю площину (Рис.2.1)

Нехай кут – кут між напрямним вектором прямої і нормальним вектором площини , - проекція прямої на площину . Вважатимемо, що , оскільки синуси суміжних кутів рівні . Із рис.2.1 видно, що .

Враховуючи ці зауваження, обчислюємо косинус кута :

.

Остаточно.(8)

За формулою (8) обчислюємо синус кута між прямою і площиною. У чисельнику стоїть знак модуля, оскільки .

Із формули (8) дістаємо умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини:

• якщо , то ;

• якщо , то .

2.3 Взаємне розташування прямої і площини

Розглянемо взаємне розташування прямої та площини. Нехай задано пряму точкою і направляючим вектором , а площину – загальним рівнянням в афінній системі координат.

Можливі три випадки їх взаємного розташування: 1) пряма перетинає площину, 2) пряма паралельна площині, 3) пряма належить площині.

1) Пряма перетинає площину тоді і лише тоді, коли направляючий вектор прямої не паралельний площині, тобто тоді коли (9)

Щоб знайти координати точки перетину прямої та площини, треба розв’язати систему, яка складається з рівняння прямої та рівняння площини.

2) Пряма паралельна площині тоді і лише тоді, коли вектор паралельний площині і точка не належить цій прямій. Таким чином співвідношення:

(10)

виражає необхідну і достатню умову того, що пряма паралельна площині .

3)Умова належності прямої площині виражається двома рівностями:

(11)

Пряма визначається точкою і напрямним вектором .

Із рівняння площини випливає, що її нормальний вектор матиме координати . Перша рівність в умові (11) випливає з вимоги, що якщо пряма належить площині, то й точка, яка належить цій прямій, теж належить площині. А якщо це так, то координати точки повинні задовольнити рівняння площини: . Вектори і взаємно перпендикулярні, а тому їх скалярний добуток дорівнює нулю: .

Приклад. Перевірити, що пряма лежить у площині .

Розв’язання. У нашій умові , , , , , , , , .

Перша і друга рівності умови (11) виконуються, а значить пряма лежить на площині .