Міністерство освіти і науки України

Миколаївський державний університет

імені В.О.Сухомлинського

Методичні рекомендації і дидактичні матеріали для студентів

фізико-математичних факультетів вищих навчальних закладів

Векторна алгебра та аналітична

геометрія.

Пряма у просторі

Розділ 1. Теоретичні відомості до теми «Пряма у просторі»

§1 Рівняння прямої лінії у просторі

1.1 Канонічні рівняння прямої у просторі………………………….3

1.2 Рівняння прямої, яка проходить через дві точки………………3

1.3 Параметричні рівняння прямої………………………………….4

1.4 Рівняння прямої як лінії перетину двох площин………………4

1.5 Взаємне розташування прямих………………………………….5

1.6 Кут між двома прямими у просторі……………………………..6

§2 Пряма і площина у просторі

2.1 Умова належності двох прямих площині………………………7

2.2 Кут між прямою і площиною……………………………………8

2.3 Взаємне розташування прямої і площини……………………...9

Питання для самоперевірки………………………………………….10

Розділ 2. Аудиторні практичні заняття…………………………………...11

Розділ 3. Індивідуальні домашні завдання……………………………….23

Література

Розділ 1. Теоретичні відомості до теми «Пряма у просторі»

§1 Рівняння прямої лінії у просторі.

1.1 Канонічні рівняння прямої у просторі

Пряму у просторі можна визначити точкою , яка належить цій прямій, і напрямним вектором цієї прямої (рис.1.1).

Візьмемо на прямій плинну точку і побудуємо вектор , який матиме проекції . Вектори і — колінеарні, а тому їх відповідні проекції пропорційні. Отже, маємо:

(1)

Рівняння (1) є канонічним рівнянням прямої у просторі.

Зауваження. Коли у рівнянні (1) один із знаменників дорівнює нулю, то відповідний чисельник теж дорівнює нулю.

Приклад. Визначити положення прямої.

Розв’язання. Дану пряму задано канонічними рівняннями (1).Оскільки , то . Отже, пряма перетинає вісь у точці і перпендикулярна до цієї осі.

1.2 Рівняння прямої, яка проходить через дві точки

Пряму у просторі можна визначити двома точками і , що належать цій прямій (рис.1.2).

Візьмемо на прямій плинну точку і побудуємо вектори

,

.

Вектори і – колінеарні , а тому їх відповідні проекції пропорційні.

Отже,

(2)

Рівняння (2) є рівнянням прямої у просторі , яка проходить через дві точи.

1.3 Параметричні рівняння прямої

Якщо в рівнянні (1) значення відношень позначити параметром :

а потім розв’язати одержані рівняння відносно , то дістанемо:

(3)

Так само, як і для прямої на площині, змінна набуває довільних дійсних значень і називається параметром. Коли точка рухається по прямій, параметр змінюється за абсолютною величиною і знаком.

Рівняння (3) називаються параметричними рівняннями прямої.

Параметричні рівняння зручно застосовувати в тих випадках, коли потрібно знати точку перетину прямої і площини.

Приклад. Дана пряма і площина . Знайти точку їх перетину.

Розв’язання. Дану пряму задано канонічними рівняннями. Параметричні рівняння прямої, що відповідають даним канонічним, матимуть вигляд:

Підставивши ці вирази в ліву частину даного рівняння площини, приходимо до одного рівняння з одним невідомим:

Розв’язавши це рівняння, знаходимо , а значить, координати шуканої точки будуть:

1.4 Рівняння прямої як лінії перетину двох площин

Пряма може бути задана як лінія перетину двох площин (Рис.1.3)

(4)

Нормальні вектори цих площин матимуть координати . Напрямний вектор цієї прямої можна обчислити, як векторний добуток векторів і :

(5)

Для того, щоб від рівнянь (4) перейти до канонічних рівнянь прямої (1), необхідні, крім координат вектора , координати точки , яка належить цій прямій. Точку беруть як перетин даної прямої з однією із координатних площин:

• якщо з площиною , то ;

• якщо з площиною , то ;

• якщо з площиною , то .

У будь-якому разі з рівнянь (4) дістаємо систему двох рівнянь із двома невідомими, розв’язавши яку дістанемо координати точки .