Проміжки зростання і спадання функції

Для того, щоб визначити проміжки зростання і спадання функції, необхідно спочатку визначити її першу похідну.

Нехай функція визначена в області . Візьмемо довільне число і надамо йому приросту . Тоді . Похідна функції у точці визначається за формулою:

. (1.12)

Вираз повинен прямувати при до однієї і тієї ж границі, незалежно від того, яким чином - справа чи зліва.

(1.13)

Похідна є новою функцією від , визначеною на множині .

З точки зору механіки, похідна виражає собою швидкість зміни функції . Закон руху точки задається функцією , де - переміщення, - швидкість руху точки, - час. Похідна від переміщення точки за часом є швидкістю цієї точки:

. (1.14)

З точки зору геометрії, похідна чисельно дорівнює тангенсу кута , утвореного дотичною до графіка функції у точці з додатнім напрямком осі .

. (1.15)

Пряма, що проходить через точку дотику перпендикулярно до дотичної, називається нормаллю, рівняння якої можна представити виразом:

. (1.16)

Теорема 1.3. Якщо функція диференційована у точці , тобто у точці існує похідна , то функція неперервна у точці .

Обернене твердження не вірне. Наприклад, функція є неперервною у точці , але похідної у даній точці не існує, оскільки

; ;

.

Тобто у точці не справджується умова існування похідної (1.13).

Означення 1.5. Якщо функція така, що більшому значенню відповідає більше значення функції, то функція - зростаюча. Якщо функція така, що більшому значенню відповідає менше значення функції, то функція - спадаюча.

Якщо і , то згідно з означенням 1.5:

• для зростаючої функції ;

• для спадаючої функції .

Теорема 1.4. Необхідна умова зростання функції.

Якщо функція , що має похідну на відрізку , зростає на цьому відрізку, то похідна не від‘ємна на відрізку .

Для зростаючої функції . Переходячи до границі, маємо:

, тому .

З геометричної точки зору, якщо на відрізку функція зростає, то дотична до кривої у кожній точці відрізка утворює з додатною піввіссю гострий кут або в окремих точках горизонталь. Тому для .

Теорема 1.5. Достатня умова зростання функції.

Якщо функція неперервна на відрізку і диференційована на інтервалі , причому для , то функція зростає на відрізку .

Теорема 1.6. Достатня умова спадання функції.

Якщо функція неперервна на відрізку і диференційована на інтервалі , причому для , то функція спадає на відрізку .

Теорема 1.7. Якщо функція зростає на відрізку (на інтервалі ), то її похідна на цьому відрізку (інтервалі). Якщо функція спадає на відрізку (на інтервалі ), то її похідна на цьому відрізку (інтервалі).

Екстремуми функції

Функція має в точці максимум, якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх цього околу має місце нерівність .

Функція має в точці мінімум, якщо для деякого проміжку, що включає точку , виконується нерівність .

Означення 1.6. Максимуми і мінімуми функції – екстремуми цієї функції.

Теорема 1.8. Необхідна умова існування екстремуму.

Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то її похідна в точці дорівнює нулю. Обернена теорема не справедлива.

Функція може мати екстремум у точках, в яких:

• ;

• не існує.

Якщо похідна не існує у деякій точці, але існує у прилеглих точках, то у цій точці похідна має розрив. Точки, в яких похідна дорівнює нулю () або не існує, – критичні точки першого роду.

Теорема 1.9. Достатня умова існування екстремуму.

Нехай функція неперервна на інтервалі, що містить точку , і диференційована в усіх точках інтервалу, крім, можливо, точки . Якщо при переході зліва направо через точку похідна змінює свій знак з “+” на “-“, то при функція має максимум. Якщо при переході зліва направо через точку похідна змінює свій знак з “-” на “+“, то при функція має мінімум.

Теорема 1.10. Достатня умова існування екстремуму.

Нехай в точці перша похідна функції дорівнює нулю (), а друга похідна функції не дорівнює нулю ().

• Якщо в точці і , то у цій точці функція має максимум.

• Якщо в точці і , то у цій точці функція має мінімум.

• Якщо в точці і , то не відомо, чи має функція у даній точці екстремум.