1.1. Область определения функции двух переменных

Если каждой паре значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. Функция двух переменных обозначается . Множество пар , при которых определяется функция , называется областью определения этой функции.

Область определения функции может представлять собой:

1) часть плоскости О_ху, ограниченную замкнутой кривой, причем точки этой кривой могут как принадлежать, так и не принадлежать области определения;

2) всю плоскость О_ху;

3) совокупность нескольких частей плоскости О_ху.

Аналогично определяется функция трех и более переменных.

1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Окрестностью радиуса r точки называется множество всех точек , удовлетворяющих неравенству , т. е. множество всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке .

Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для каждого числа найдется такое число , что для всех точек , для которых выполняется неравенство , имеет место неравенство . Предел функции двух переменных обозначают: или ^.

Пусть точка принадлежит области определения функции . Функция называется непрерывной в точке , если имеет место равенство , причем точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

1.3. Частные производные функции двух переменных

Пусть определена на области D. Будем считать аргумент y постоянным и рассмотрим получающуюся при этом функцию одной переменной x. Придадим переменной x приращение . Приращение вызовет приращение функции . Конечный предел (если он существует), отношения приращения функции к приращению аргумента , при , называется частной производной по x и обозначается , т. е.

.

(1.1)

Если считать аргумент х постоянным и рассматривать функцию z = f(x, y) как функцию одной переменной у, то приращение вызовет приращение функции . Конечный предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при называется частной производной по y и обозначается , т. е.

.

(1.2)

Для обозначения частных производных также используют символы:

.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

;

;

;

.

(1.3)

Причем , если производные непрерывны. Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

1.4. Полный дифференциал функции двух переменных

Полным приращением функции z = f(x, y) в точке называется величина .

Полным дифференциалом функции z = f(x, y)называется величина, вычисляемая по формуле:

.

(1.4)

Формула приближенных вычислений:

.

(1.5)