1. Множество вещественных чисел.

2. Множество всех отображений, целых чисел в целые.

3. Множество всех подмножеств множества положительных

целых чисел.

(3)

Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях. Шкала бесконечно малых. –символика.

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … , n –1, n, … .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом u_n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u₁ , u₂ , u₃ , …, u_n - 1 , u_n , …, кратко обозначаемый { u_n }

и называемый числовой последовательностью. Величина u_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой u_n = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов

Удобным инструментом при изучении предельных переходов является понятие бесконечно малой последовательности. Последовательность { n } называется бесконечно малой, если _n 0 при n. Основные свойства бесконечно малых последовательностей:

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей { n } и { n } есть бесконечно малая последовательность.

2. Произведение { n n } бесконечно малой последовательности { n } на ограниченную последовательность { n } есть бесконечно малая последовательность.

3. Для того, чтобы последовательность { xn } сходилась к некоторому числу а необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая последовательность { an }, такая, что для всех n выполнялось xn = а + an

Теорема: Последовательность { n }, n 0 является бесконечно малой последовательностью тогда и

только тогда, когда последовательность является бесконечно большой.

(4)

Сходящиеся последовательности. Предел последовательности, геометрический смысл. Основные теоремы о сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Ограниченные числовые последовательности. Верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Точные верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Сходимость последовательности при .

Если существует конечный предел , то последовательность {xn} называется сходящейся.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство |xn – a| < ε,

т. е. При этом пишут, что или при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a. ε-окрестность точки a. Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть для определенности - возрастающая и ограничена сверху. Зафиксируем , а так как ограничена, то и . Тогда в силу монотонности заданной последовательности в силу (1.2.1) .

Поэтому , что означает .

Аналогично теорема доказывается для случая, когда - убывающая и ограничена снизу.

Следствие.

Для того, чтобы монотонно возрастающая (убывающая) последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху (снизу). Это следует из утверждения, что если последовательность имеет предел, то она ограничена , и из теоремы Вейерштрасса.

Теорема 2.2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство: Пусть , а Пусть - наибольшее из чисел , т.е. . По определению, - ограничена.

Предельный переход в неравенстве.

Если для двух последовательностей , всегда выполняется неравенство , причем каждая из них имеет конечный предел, , , то и .

Теоре́ма Больца́но — Вейерштра́сса гласит, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию xn ≥ C (xn ≤ C). Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если .

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если .

Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ≥ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn.

Последовательность {xn} называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 ≤ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn.

Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x} (обозначение sup{x}). Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).

2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ ( -¥ ).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

Теорема о пределе ограниченной и монотонной последовательности.

Если последовательность {Xn}  R монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел в R .

Доказательство: Пусть, например, {Xn} – неубывающая последовательность и n: Xn < M. Тогда по теореме о существовании точной верней грани о ограниченного сверху множества в R существует точная верхняя грань S=supx_n.

Докажем, что limx_n = S.

x_n <= S (1)

По определению точной верхней грани: S - x_N

{Xn} – неубывает => x_n >= x_N при n>= N  S - x_n при n >= N (2)

(1) + (2)  S - x_n <= S  [0 <= S - x_n <  и | S - x_n | <   X_n –> S.

Аналогично для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности

(5)

Функция. Область определения, множество значений, способы задания функции. Простейшие свойства функций (ограниченность, монотонность, четность, нечетность, периодичность). Элементарные функции (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические) и их графики.

Предел функции в точке и на бесконечности. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши. Геометрический смысл предела. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Понятие о неопределенностях. Раскрытие простейших неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Основные эквивалентности. Функции, эквивалентные функциям , , , , , , , в окрестности .

Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение: y =f (x), где x - независимая переменная (аргумент функции), y - зависимая переменная (функция).Множество значений x называется областью определения функции (обычно обозначается D). Множество значений y называется областью значений функции (обычно обозначается E). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f (x)).

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

1. Аналитический способ: функция задается с помощью

математической формулы.

2. Табличный способ: функция задается с помощью таблицы.

3. Описательный способ: функция задается словесным описанием

4. Графический способ: функция задается с помощью графика

5. Пределы на бесконечности

Функция называется четной, если:

• область определения

функции симметрична

относительно нуля,

• для любого х из облас-

ти определения

f (−x) = f (x).

Функция называетсянечетной, если:

• область определения

функции симметрична

относительно нуля,

• для любого х из облас-

ти определения

f (−x) = −f (x).

Функция y =f (x) называется возрастающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f (x1) < f (x2).

Функция y =f (x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x1

и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f (x1) > f (x2)

Функция f (x) называется периодической с периодом Т > 0, если для любого х из области определения значения x + T и x – T также принадлежат области определения и

f (x) = f (x + T) = f (x − T). При этом любое число вида Тn, где n  N, также является периодом этой функции.

Пределы функции на бесконечности

Элементарные функции:

1) степенная функция y=xⁿ

2) показательная функция y=a^x

3) логарифмическая функция y=log_ax

4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

Пусть и Тогда система множеств

является фильтром и обозначается или Предел называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.

Опр.1. (по Коши). Пусть задана функция y=f(x): X à Y и точка a является предельной для множества X. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для всех xX, удовлетворяющим неравенствам 0 < |x-a| < δ, выполняется |f(x) – A| < ε.

Опр.2.(по Гейне). Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любой последовательности {x_n}ε X, x_n≠a nN, сходящийся к a, последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к числу A.

Теорема. Определение предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.

Доказательство. Пусть A=lim f(x) – предел функции y=f(x) по Коши и {x_n} X, x_na nN – последовательность, сходящаяся к a, x_n à a.

По данному ε > 0 найдем δ > 0 такое, что при 0 < |x-a| < δ, xX имеем |f(x) – A| < ε, а по этому δ найдем номер n_δ =n(δ) такой, что при n>n_δ имеем 0 < |x_n-a| < δ

Но тогда |f(x_n) – A| < ε, т.е. доказано, что f(x_n)à A.

Пусть теперь число A есть теперь предел функции по Гейне, но A не является пределом по Коши. Тогда найдется ε_o > 0 такое, что для всех nN существуют x_nX, 0 < |x_n-a| < 1/n, для которых |f(x_n)-A| >= ε_o. Это означает, что найдена последовательность {x_n} X, x_n≠a nN, x_n à a такая, что последовательность {f(x_n)} не сходится к A.

Геометрический смысл предела lim f(x) функции в точке х₀ таков: если аргументы х будут взяты в ε-окрестности точки х₀, то соответствующие значения останутся в ε-окрестности точки .

Функции могут быть заданы на интервалах, примыкающих к точке x0 разными формулами, либо не определены на одном из интервалов. Для исследования поведения таких функций удобным является понятие левосторонних и правосторонних пределов.

Пусть функция f определена на интервале (a, x0 ). Число A называется пределом функции f слева

в точке x0

если 0 0 x ( a, x0 ) , x0 - x x0 : | f ( x ) - A |

Предел функции f справа в точке x0 определяется аналогично.

Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:

1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.

2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.

3) Произведение бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке.

Бесконечно малые в некоторой точке х0 функции a (x) и b (x) называются бесконечно малыми одного порядка,

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям

Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1. сокращение на множитель, создающий неопределенность

2. деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при )

3. применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших

4. использование двух замечательных пределов:

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x→ a, если f(x): f(x) = f (x)g(x), где limx→ af (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x→ a, если предел их отношения при x→ a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

sin x ~ x, x → 0

tg x ~ x, x → 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0

e^x-1~ x, x→ 0

ln (1+x)~ x, x→ 0

^m-1~ mx, x→ 0

(6)

Непрерывность функции. Непрерывность элементарных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Формулировка теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса.

Разрывные функции. Классификация точек разрыва. Примеры.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если

" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).

Непрерывность сложной функции

Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 59.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.

Теорема Вейерштрасса

Пусть f — непрерывная функция, определённая на отрезке [a,b]. Тогда для любого существует такой многочлен p с вещественными коэффициентами, что для любого x из выполнено условие

Теорема Больцано — Коши

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.

Точка разрыва - значение аргумента, при котором нарушается непрерывность функции (см. Непрерывная функция). В простейших случаях нарушение непрерывности в некоторой точке а происходит так, что существуют пределы

при стремлении x к а справа и слева, но хотя бы один из этих пределов отличен от f (a). В этом случае а называют Точкой разрыва 1-го рода. Если при этом f (a + 0) = f (a —0), то разрыв называется устранимым, так как функция f (x) становится непрерывной в точке а, если положить f (a)= f(a+0)=f(a-0).

Разрывные функции, функции, имеющие разрыв в некоторых точках (см. Разрыва точка). Обычно у функций, встречающихся в математике, точки разрыва изолированы, но существуют функции, для которых все точки являются точками разрыва, например функция Дирихле: f (x) = 0, если х рационально, и f (x) = 1, если х иррационально. Предел всюду сходящейся последовательности непрерывных функций может быть Р. ф. Такие Р. ф. называются функциями первого класса по Бэру.

(7)

Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного двух функций; производная сложной функции).

Производная тригонометрических функций.

Производная обратной функции. Производная обратных тригонометрических функций.

Производная логарифмической функции.

Понятие о логарифмическом дифференцировании. Производная степенно-показательной функции. Производная степенной функции. Производная показательной функции. Производная гиперболических функций.

Производная функции, заданной параметрически.

Производная неявной функции.

Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Логарифмическое дифференцирование

Если требуется найти из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х,

.

в) заменить его выражением через х

Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ;

б) из полученного уравнения выразим .

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,

Тогда , или

(8)

Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Критерий дифференцируемости функции.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) функции f (x) можно представить в виде Dy = f' (x0) Dx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член dy = f' (x0) Dх в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx=Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d²y: d(dy)=d²y.

Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому

d²y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)².

Принято записывать (dx)² = dx². Итак, d²у= f''(x)dx².

Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

d³y=d(d²y)=[f ''(x)dx²]'dx=f '''(x)dx³.

Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dⁿ(y)=d(dⁿ-1y)dⁿy = f (n)(x)dxⁿ

Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy≈f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Инвариантная форма первого дифференциала.

df(x)=f’(x)dx

Доказательство:

1)

2)

(9)

Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их следствия. Геометрический смысл теорем Ферма, Ролля и Лагранжа.

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида , , , , , , с помощью правила Лопиталя.

Формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано и Лагранжа. Разложения по формуле Тейлора функций , , , , , в окрестности точки . Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.

• Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того

• Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.

• Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть Обратное утверждение неверно.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.

Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Теорема Ферма

Если f(x) дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение для некоторой окрестности точки x0, то f’(x)=0.

Доказательство:

пусть f(x0) – наибольшая.

Теорема(Ролля) Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b). Тогда существует число такое, что f ' (c) = 0.

Доказательство. Так как функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения.

Обозначим

Если M = m, то f(x) = const . Следовательно, f '(x) = 0 для любого , и теорема для данного случая верна. Пусть теперь M≠m. Пусть M>f(a)=f(b). Тогда найдется число такое, что f(c)=M. При этом имеют место неравенства

Переходя к пределу, получаем

Если при M ≠ m выполнены равенства M = f(a) = f(b), тогда m < f(a) = f(b).

Рассмотрим функцию y = g(x) = - f(x).

Для этой функции и - m > g(a) = g(b).

Из доказанного выше следует, что существует число такое, что g ' (c) = 0. Так как g ' (c) = - f(c), то f(c) = 0 . Теорема доказана.

Теорема Коши(об отношении приращения двух функций)

Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g ' (x) ≠ 0 на (a, b).

Тогда существует число такое, что

Доказательство. Заметим, что g(b) ≠ g(a). (Если g(b) = g(a), то, по теореме Ролля, существует число такое, что g ' (c) = 0.)

Введем обозначение: .

Рассмотрим функцию , которая непрерывна на , дифференцируема на (a, b) и F(a) = F(b) = 0, т.е. функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Следовательно, существует число такое, что F ' (c) = 0.

Так как . Теорема доказана.

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда существует число , такое, что .

Доказательство. Необходимо положить g(x) = x и применить теорему Коши. Теорема доказана.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значений f(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде (1)

В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.

Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому

Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

Учитывая третье условие и то, что ,

получим , т.е. .

Далее . Значит, , т.е. .

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

Формула

где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.

Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде

где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

; ; ; ; ; ; ;

(10)

Приложение производной к исследованию функций.

Монотонные функции. Необходимое и достаточное условия монотонности функции. Достаточное условие строгой монотонности.

Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Выпуклость, вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости, вогнутости. Точка перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.

Асимптоты графика функции. Вертикальная асимптота. Наклонная асимптота и критерий ее существования.

Общая схема исследования функции.

Приложение есть правило Лопиталя - Теорема (правило Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.

Теорема: Критерий постоянства фун.

Функция f(x)=const на промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).

Док-во: f(x)=c => f’(x)=c’=0 возьмем x[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); c(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого x => f(x)=const.

Теорема: Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].

Док-во:

возьмем x1, x2 [a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1)

применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]

по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми.

Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b].

Док-во 1: подобно предыдущему.

Док-во 2: g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0

=> g(x) - возрастает => f(x) – убывает.

Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).

f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)0 (a,b).