1.10. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области

Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:

1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить значения функции в этих точках (в данном случае нет необходимости исследовать функцию на экстремум).

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

3. Сравнить полученные в п.1 и п.2 значения функции и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значения функции в данной области.

3 Раздел

(1)

Первообразная. Теорема об общем виде первообразных.

В математическом анализе первообразной данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Так как производная константы равна нулю, функция будет иметь бесконечное количество первообразных, таким образом семейство первообразных функции F(x) = ∫f(x)dx+ C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница. F(x) = ∫f(x)dx+ C

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную.

Общий вид первообразных

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции. Если F¢(x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянная на этом промежутке.

Доказательство. Зафиксируем некоторое х0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указазать такое число с, заключенное между х и х0, что

F(x) – F(x0) = F¢ (c)(x – x0).

По условию F¢ (c) = 0, так как с Î I, следовательно,

F(x) – F(x0) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

F(x) = F(x0),

т. е. функция F сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных):

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C,

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

1) какое бы число ни поставить в выражение вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;

2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Ф(х) = F(x) + C.

Доказательство. 1) По условию функция F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F¢(x) = f(x) для любого x Î I, поэтому

(F(x) + C)¢ = F¢(x) + C¢ = f(x) + 0 = f(x),

т. е. F(x) + C – первообразная для функции f.

2) Пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф¢(х)= f(x) для всех x Î I. Тогда

(Ф(х) – F(x))¢ = Ф¢(х) - F¢(x) = f(x) – f(x) = 0.

Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) – F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х их промежутка I справедливо равенство Ф(х) – F(x) = С, что и требовалось доказать.

Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.

(2)