5. Характеристический многочлен матрицы. Собственные векторы и собственные значения матрицы.

Характеристический многочлен — это многочлен, определяющий собственные значения матрицы.

Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию А(х)=х называется собственным вектором преобразования A. Число  называется собственным значением.

Найдем собственные значения и собственные векторы, если известна матрица преобразования:

Записываем характеристический многочлен (1.1) и решаем характеристическое уравнение (1.4):

Получаем два собственных значения: ₁=1 кратности m₁=2 и ₂=-1 кратности m₂=1. Далее с помощью соотношения (1.5) находим собственные векторы. Сначала ищем ФСР для ₁=1:

Очевидно, что rang=1, следовательно, число собственных векторов для ₁=1 равно n-rang=2. Найдем их:

Аналогичным образом находим собственные векторы для ₂=-1. В данном случае будет один вектор:

6. Решение системы линейных уравнений методами Крамера и Гаусса. Условие существования единственного решения.

Метод Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Метод Гаусса—метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули:На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней. Метод Гаусса идеально подходит.

7. Производная, ее определение, геометрический и физический смысл. Основные свойства производной. Производная произведения и частного (вывод). Производные элементарных функций (без вывода).

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс - интегрирование.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

( c u )’ = c u’  ,      d ( c u ) = c du ,      ( c – const );

( u  ±  v )’  =  u’ ±  v’  ,      d ( u  ±  v ) = du  ±  dv  ;

( u v )’ = u’ v +  u v’  ,      d ( u v ) = v du  +  u dv  ;

Производные элементарных функций