10

Лабораторная работа № 1 Переходные процессы в линейных цепях первого порядка

1. Общие сведения

Переходными называются процессы, возникающие в электрических цепях при переходе из одного установившегося режима к другому. В установившемся режиме токи и напряжения в цепи не изменяют своего характера. Если в цепи действует постоянная э.д.с., тогда в установившемся режиме токи и напряжения во всех участках цепи так же постоянные. Переход от одного установившегося режима к другому при наличии в цепи реактивных элементов L и C не происходит скачкообразно, так как магнитная W_L=I²L/2 и электрическая W_E = U²C/2 энергии индуктивности и емкости не могут изменяться мгновенно. Из непрерывности изменения магнитного поля катушки индуктивности и электрического поля конденсатора вытекают два закона коммутации.

1. Ток через индуктивность в момент времени t=0_– до коммутации равен току в момент времени t = 0₊ после коммутации

.

2. Напряжение на емкости до коммутации и после коммутации равны

.

Значения токов в индуктивности i_L(0₊) и напряжение на емкости U_c(0₊) образуют независимые начальные условия.

Классический метод расчетов переходных процессов заключается в составлении интегро-дифференцальных уравнений на основе соотношений для мгновенных значений токов и напряжений в R, L, C элементах

.

Порядок n дифференциального уравнения определяется числом независимых реактивных элементов. Линейные цепи первого порядка содержат однотипные реактивные элементы (либо С либо L). Примеры RC и RL цепей первого порядка показаны на рис. 1. Изменения токов и напряжений X(t) в элементах цепи находятся из решения дифференциального уравнения вида

. (1)

г

Рис. 1. Схемы RC и RL цепей 1-го порядка: а, в – дифференцирующие цепи; б, г, – интегрирующие цепи.

де X(t) – изменение токов или напряжений в цепи, W(t) - внешнее воздействие. Общее решение X(t) диференциального уравнения находится как сумма общего решения X_св(t) однородного диференциального уравнения (без правой части) и частного решения X_пр(t) неоднородного уравнения

X(t) = X_пр(t) + X_св(t). (2)

Свободное решение X_св(t) протекает в цепи без участия внешнего источника W(t), а принужденная составляющая X_пр(t) протекает в установившемся режиме под действием W(t). Свободная составляющая уравнения (1) находится в виде

X_св(t) = Ае^pt,

где р =b₀/b₁ является корнем характеристического уравнения

b₁p + b₀ = 0.

Постоянная интегрирования А находится из начальных условий.

2. Переходные процессы в rc цепях

С

Рис. 2. Подключение э.д.с. к RС – цепи

хема подключения источника постоянного напряжения к RC цепи показана на рис. 2. В качестве независимой переменной берем напряжение на емкости U_c(t). При t=0, U_c(0_–)=0, начальные условия нулевые. Составим уравнение для нахождения U_c(t)

. (3)

Общее решение уравнения имеет вид

(4)

Из решение однородного уравнения находим

,

где τ=RC – постоянная времени цепи. Полагая t=∞ определяем значение принужденной составляющей U_пр=Е. Тогда для общего решения запишем

Используем начальные условия U_c(0_–)=U_c(0₊)=0 найдем постоянную . Окончательное выражение для напряжения на емкости

Ток в цепи:

В

Рис. 3. Токи и напряжения в RС – цепи во время переходных процессов

ременные диаграммы токов и напряжений во время переходных процессов в RC цепи показаны на рис. 3. В момент коммутации при t=0 емкость ведет себя как к.з. и ток в цепи i(0) =E/R. Далее, по мере заряда конденсатора, ток уменьшается по экспоненциальному закону. За время t=3 ток снижается до уровня i(3)=0,05∙E/R.