Величину s2 называют несмещенной или «подправленной» выборочной дисперсией

Пример 6. Покажем, что оценка математического ожидания с помощью выборочной средней является несмещенной.

Решение. Оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру. Покажем , что математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию генеральной совокупности.

М() = М() = ,

т.к.

Замечание. Мы воспользовались представлением выборочных значений как компонентов к – мерной случайной величины (x₁, x₂,…..x_k) → (X₁, X₂,….X_k)

( см. начало обсуждение метода максимального правдоподобия).

Пример 7. Покажем, что оценка дисперсии является смещенной.

Воспользуемся расчётной формулой для вычисления оценки дисперсии, приведенной выше:

d = ,

d =

здесь n² слагаемых здесь по n слагаемых

здесь n слагаемых

здесь (n² – n) слагаемых

=

Вычислим математическое ожидание оценки d, снова воспользовавшись представлением выборочных данных n –мерной случайной величиной (x₁, x₂,…..x_n) → (X₁, X₂,….X_n):

М(d) = M() = - .

С учётом количества слагаемых (см. выше) и того, что М(Х_i) = M(X_j) = M(X) и М(Х_iX_j) = М(Х_i) M(X_j) в силу статистической независимости Х_i и X_j получаем:

М(d) = - =

где использована формула для вычисления дисперсии: D =

Из полученного результата следует, что выборочная дисперсия d является смещенной оценкой для D, т.к. её математическое ожидание не равно D, а несколько меньше. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно умножить d на . Результат этого умножения обозначенный S² и называется “исправленной эмпирической дисперсией”.

Пример 8. На предприятии изготовляется определённый вид продукции. Ежемесячный объём выпуска этой продукции является случайной величиной, для характеристики которой принят показательный закон распределения: ( x ≥ 0 )

В течение шести месяцев проводился замер объёмов выпуска продукции, получены следующие данные:

Месяц	1	2	3	4	5	6
Объём выпуска	25	34	23	28	32	30

Найти оценку параметру λ.

Решение. Так как закон распределения содержит лишь один параметр λ, то для его оценке надо составить одно уравнение, например, равенство теоретического и эмпирического первых начальных моментов. Находим выборочную среднюю - эмпирический первый начальный момент:

= (25+34+23+28+32+30)/6 = 28.7

Определяем математическое ожидание – теоретический первый начальный момент:

М(Х) = ,

Приравниваем теоретический и эмпирический первые начальные моменты:

откуда получаем оценку параметра λ: