24.Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида - линейное ДУ с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение однородное.

Решение этого уравнения ищем в виде , где k=const.

- характеристическое уравнение

1)>0 - 2 действ., разл. корня.

2) =0 ==

3) <0 ,

25. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:

(1)

Общим решением неоднородных уравнений вида (1) = сумме общих решений, соотв. однородным уравнениям и частных решений неоднородных уравнений.

, где - общее решение , z(x)- частное решение (1).

Метод неопределенных коэффициентов:

1), ,

Если m- корень характ уравнения, то

2) ,

, находим А и В

3)

4)

Если -корень хар уравнения, след.

Если и -корни (кратности 2), то

5) , где - 1 вид, -2 вид., след.

26. Метод вариаций произвольных постоянных.

(1)

1) z ищем методом вариаций.

, где и - произвольные постоянные

2) Пусть и , то есть это функции, которые подберем так, чтобы было решением уравнения (1)

(2)

Подберем и так, чтобы сумма , тогда:

Так как z- решение (1), то подставим это в уравнение (1)

(3)

Систему (**) относительно 2-х неизвестных и решаем по Крамеру:

27. Линейные ду высших порядков

ДУ n-ого порядка называется уравнение вида

Для определен.решенения необходимо задать n постоянных

С пост.коэф.:

1)однородное уравнения

- характеристическое уравнение.

- корни характеристического уравнения.

Если все корни – различные действительные числа

Каждой паре комплексных сопр.корней будет соответствовать

2)

S- кратность корня

28.Вронскиан, его свойства.

Средством изучения линейной зависимости систем функций является так называемый определитель Вронского.

Для 2-х дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид

Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно =0.

Если функции и линейно независимые решения на интервале (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в ноль.

29.Преобразования Лапласа.

Пусть f(x) – функция действительной переменной t, назовем ее оригиналом, если она обладает следующими свойствами:

1. f(t)0, при t<0

2. f(t) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода и точки устранимого разрыва на любом конечном интервале.

3. существует такое M>0 и S₀0, что для всех t0 , S₀- показатель роста f(t).

Прим: функция Хевисайта (единичная функция)

Пусть f(t) – произвольная функция, являющаяся оригиналом, и p=a+bi – комплексное число такое, что Re p S₀.

Преобразованием Лапласа называется выражение

F(p) – изображение f(t)

Всякому оригиналу соответствует изображение

Любой линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация их изображений

k=1,2,…n

30.Свойства преобразований Лапласа

1.Линейность. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображения., , C₁ и C₂ – const.

2.Подобие. Если, то , то есть умножаем аргумент оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

3.Смещение (затухание). Если , a-const, то , т.е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной p.

4. Запаздывание. Если , , то , то есть запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению оригина без запаздывания на .

5. Дифференцирование оригинала.

6. Дифференцирование изображения.

7.Интегрирование оригинала.

8.Интегрирование изображения.

9.Умножение изображений.

10.Умножение оригиналов.

31.преобразование Лапласа элементарных функций.

1. f (t) Найти изображение процесса начавшегося t=t₀ и закончившегося t=t₁.

2.Найти изображение функции f(t), имеющей разное аналитическое задание на различных участках вещественной оси.

Удобно представить единичный импульс [t₀;t₁] следующим образом:

,

Пример:

32. Свертка. Свойства свертки.

, - оригиналы.

Сверткой и называется интеграл *=

Свойства свертки:

1. - оригинал

2. =

3. ()=()

4. (+)=+

33.Применение преобразования Лапласа при решении дифференциальных уравнений.

ДУ II порядка с постоянными коэффициентами.

- оригиналы.

ДУ с постоянными коэффициентами n-ого порядка.

, где - числа; - оригиналы.

…

если

34.Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.

- функция, непрерывная на интервале (a;b), называется коэффициентом, система называется линейной однородной системой ДУ I порядка.

- вектор

- краткая запись системы (*)

Решением данной системы называется совокупность функций - непрерывных на интервале (a;b), удовлетворяющих условию (*) и образующих каждое уравнение системы (*) в тождество.

Задача Коши для системы (*) – это задача для нахождения решений этой системы, удовлетворяющих начальным условиям. Пусть система (*) имеет решения ; - общее решение. Система решений называется линейно независимой на интервале (a;b), если из равенства =0

Чтобы найти общее решение системы (*), надо найти и линейно независимое решение системы, тогда

Общее решение линейной неоднородной системы ДУ с постоянными коэффициентами

, где - числа

Однородная система ДУ имеет решение, если =0 ()

характеристическое уравнение

- собственные числа. Многочлен имеет n корней

1. если все корни характеристического уравнения различны, то:

2. если имеет кратность m, то , где - полином степени (m-1)

Пример:

=0

ответ: