13. Приведение к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей 2-го порядка:
(См. 12)
Пример:
=1>0,
след. прав ориентации
14.Каноническое уравнение кривых и поверхностей II порядка (см.Реферат)
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 – алгебраическое уравнение кривой 2 порядка относительно переменных x и y.
Эллипс
;
если a=b,
окружность.
Гипербола
Парабола
- уравнение поверхности второго порядка
относительно трех переменных.
Если D=E=F
каноническое уравнение.
Конус
Цилиндр эллиптический
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр
Однополостной гиперболоид
Двуполостной гиперболоид
Гиперболический параболоид
Эллипсоид
Эллиптический параболоид
15.Дифференцильные уравнения (основные понятия, примеры)
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и производные этой функции по х различных порядков.
Порядок старшей производной называется порядком уравнения.
Дифференциальное уравнение называется
линейным, если левая часть этого уравнения
– многочлен первой степени относительно
неизвестной функции у и ее производных
Функции
,
определенные и непрерывные в определенном
интервале, называются коэффициентами
уравнения; f(x)
– свободный член.
Пример:
- линейное.
Линейное уравнение называют однородным, если f(x) тождественно равно нулю, в противоположном случае – неоднородным.
Всякая функция
,
которая при подстановке в ДУ превращает
его в тождество, называется решением
этого уравнения.
Общим решением ДУ
называется такое решение
,
которое содержит столько постоянных
,
каков порядок уравнения.
16.Ду I порядка. Задача Коши.
- общее решение ДУ I порядка.
Геометрически общее решение ДУ I порядка – семейство интегральных кривых, соответствующих различным значениям постоянных.
Найти решение
,
удовлетворяющее условию
Геометрически надо найти интегральную
кривую ДУ
,
проходящую через точку
Уравнение
имеет бесконечное число решений, но
если выбр.начальн.услов., то решение
существует и только единственное.
17.Уравнение, с разделяющимися переменными.
ДУ I порядка называется
уравнением с разделяющимися переменными,
если оно имеет вид
Пример:
,
где
18. Однородные уравнения I порядка.
Функция
называется
однородной в степени n,
если
если
и
- однородные функции одного и того же
порядка
Обозначим
y=xz
уравнение
с разделяющимися переменными.
19.Линейные уравнения первого порядка.
Уравнение вида
,
где
и
функции f(x)
и p(х) – непрерывные функции
на (a,b),
называется дифференциальным линейным
уравнением первого порядка.
Если f(x) тождественно =0, следовательно, уравнение называется однородным.
Методы решения линейного уравнения:
1)метод Бернулли:
ищем решение в виде произведения функции y=u(x)v(x)
Подберем v(x) 
- общее решение
Общее решение линейного неоднородного уравнения = решению соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
2) Метод Лагранжа:
-
общее решение однородного уравнения
Пусть с=с(х) – функция
- неоднородное уравнение
20.Уравнение Бернулли:
,
где
-
любое число
Если
=1,
=0-
линейное уравнение
Если
0,
1,
то:
,
-
линейное уравнение от z(x)
21.Уравнение Рикатти:
,
где p, q, z-
функции от х.
Пусть
-
частное решение, т.е.
,
,
(линейное
уравнение от u(x)
22.Дифференциальные уравнения второго порядка:
-
общее решение
-
частное решение.
,
Если в уравнении
функции и ее частные производные
непрерывны в некой области D,
то любой точки этой области существует
единственное решение
,
удовлетворяющее начальному условию.
1)
.
Пусть
,
,
+с,
2)
Пусть
,
,
3)
Пусть
,
,
,
,
,
,
23.Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений II порядка.
(1) где
и
- непрерывные функции.
и
- частные решения.
2 решения
и
называются линейно независимыми, если
только тривиальные линейные комбинации
этих функций =0 и линейно зависимыми,
когда хотя бы 1 из них можно выразить
через другой.
(
- линейная комбинация)
и
- независимы
если
Пример:
(
- независ.)
Функции
и
дифференцируемы и непрерывны на
(a;b)линейно
зависимы, если определитель Вронского
на этом интервале тождественно = 0, и
линейно независимы, если вронскиан
0.
Определитель Вронского от непрерывных
и дифференцируемых функций
- определитель n-ого
порядка, в первой строке которого
находятся функции, во второй – первые
производные и т..
Если функции
и
являются линейно независимым решением
уравнения (1), то общее решение этого
уравнения есть линейная комбинация
этих решений. (
)
Доказательство:
,
ч.т.д.
Чтобы найти общее решение ДУ вида (1)
достаточно знать 2 частных линейно
независимых решения этого уравнения
и
,
тогда
