
- •8. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •9.Собственные значения и собственные вектора линейных операторов:
- •10. Свойства собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
- •11.Квадратичные формы. Определение. Примеры.
- •12. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
- •13. Приведение к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей 2-го порядка:
- •14.Каноническое уравнение кривых и поверхностей II порядка (см.Реферат)
- •15.Дифференцильные уравнения (основные понятия, примеры)
- •16.Ду I порядка. Задача Коши.
- •17.Уравнение, с разделяющимися переменными.
- •18. Однородные уравнения I порядка.
- •19.Линейные уравнения первого порядка.
- •24.Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •25. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:
- •26. Метод вариаций произвольных постоянных.
- •27. Линейные ду высших порядков
- •28.Вронскиан, его свойства.
- •29.Преобразования Лапласа.
- •30.Свойства преобразований Лапласа
- •35.Решение систем дифференциальных уравнений операционным методом.
1.Линейные пространства (определение, примеры): Множество L называется линейным пространством, а его элементы векторами, если:
- задан закон, по которому любым двум
элементам из множества L
сопоставляется элемент z,
принадлежащий L, и называется
суммой x и y.
- задан закон умножения оператора на
число, по которому элементу x
из множества L и числу α,
соотв. элем. y
L, такой, что y=
αx.
- для любых x,y
и zL
и любых чисел α,β выполняются следующие
аксиомы
и
:
1. x+y=y+x 2. (x+y)+z=x+(y+z) 3.
такой эл-т О (нулев. эл-т)
4.
,
,
((-х) – противоположный элемент)
5. α(x+y)= αx+ αy 6.( α+β)x= αx+βx 7. α(βx)=(αβ)x 8. x*1=x
Прим: 1) v- множество векторов на плоскости; v – линейное пространство
2)p – множество многочленов от 1ой переменной степени не выше 5; p - линейное пространство.
2.Линейная зависимость (независимость)
векторов:
- вектора, принадлежащие L,
- вещественные числа.
Выражение вида
называется
линейной комбинацией векторов
с коэффициентами
.
Система векторов
называется
линейно зависимой, если существует
равная О нетривиальная (невырожден. –
хотя бы 1 из коэффициентов отличен от
нуля) линейная комбинация этих векторов.
В противоположном случае система
называется линейно независимой.
Система векторов линейно зависима тогда, когда, по крайней мере, один из этих векторов является линейной комбинацией остальных.
Доказательство: 1. необходимо
Пусть
- линейно зависимая система векторов
Пусть
Следовательно,
линейная комбинация векторов.
2. Достаточно.
Пусть
(линейная комбинация векторов)
(-1)*
т.к.,
следовательно, система векторов линейно
зависима.
Если в систему векторов входит нулевой вектор, то эта система будет линейно зависима.
Если какая-либо часть системы линейных векторов линейно зависима, то и вся эта система линейно зависима.
3. Базис. Координаты вектора. Размерность
пространства. Система линейно
независимых векторов
называется базисом пространства L,
если любой вектор x из
этого пространства может быть представлен
в виде линейной комбинации этих векторов.
А числа
называются координатами вектора
относительно данного базиса. Если задан
базис, то координаты вектора в данном
базисе определены однозначно.
Доказательство:
Пусть
- базис. Предположим, что x
разложен двумя способами.
=
=0
Т.к. линейная комбинация = 0, а вектора
линейно независимы
=0,
следовательно
.
Пусть в линейном пространстве L
выбран базис
,
тогда:
-
при сложении векторов их координаты складываются.
-
При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Доказательство: 1. xL,
y
L,
,
,
2. α – число
Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, то любой другой базис этого пространства так же содержит n векторов.
Линейное пространство L, в котором базис состоит из n векторов называется n-мерным, а число n - размерностью пространства Ln
4.Подпространство. Линейное
нормированное пространство. Евклидово
пространство. Непустое множество
Z векторов в линейном
пространстве L называется
линейным подпространством, если для
любых х и y принадлежащих
Z: (x+y)=Z
и для любого вектора xZ
α- число (αx)
Z.
Множество называется линейным
нормированным пространством, если для
любого вектора х, принадлежащего этому
множеству поставлено в соответствие
вещественное число x
- вещественное число, называемое нормой
элемента х, причем выполняются следующие
условия:
-
Если норма
=0, то х=0.
-
Для любого числа α
R или α
С,
норма от произведения αх будет
-
Для любого элемента х, y, принадлежащего Н
.
Линейное пространство называется евклидовым, если в этом пространстве определено скалярное произведение векторов. Каждому x и y поставлено в соответствие действительное число (x,y), причем выполняется следующее:
1. (x,y)=(y,x) 2. (λx,y)= λ(x,y)=(x, λy) 3. (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)
4. (x,y)0 5.
(
)
Норма вектора x, равен
в евклидовом пространстве называется
длиной вектора и обозначается
=
Вывод:
-
Если x и y принадлежат евклидовому пространству размерности n, тогда (x,y)=
-
x,y
и ортогональны, если их скалярное произведение = 0 ((x,y)=0) и
,
Система ненулевых векторов образует
ортогональный базис в
,
если эти вектора попарно ортогональны,
и ортонормальный базис, если каждый из
векторов имеет длину =1.
5.Линейные операторы (определение,
примеры). Пусть H и F
– линейные пространства. Оператором
A, действ. из H
в F называется отображение
вида A : Н
F. Сопост. любому
элементу
y=A(x)=Ax
Оператор А называется линейным, если
для любых х1,х2
H ,
число.
1.
2.
Примечание:
1.А-умножается на число
,
-число,
x-вектор,
A-линейный
оператор
2. M n –линейное пространство,A-оператор дифференц.
-линейный
оператор
6.Матрица линейного оператора.
Образуется следующим образом:
матрица:
Пусть в заданном базисе
лин. простр.
каждому линейному опреатору А отвечает
матрица
,
,
тогда при сложении линейных операторов
соответствующие им матрицы складываются,
при умножении матрицы на число
соответствующая матрица умножается на
число, при умножении операторов
соответствующие матрицы перемножаются.
7.Действия с линейными операторами.
Два линейных оператора A
и B называются равными и
принадлежат тому же пространству, если
результат их действий на один и тот же
элемент х, принадлежащий к
дает один и тот же элемент y.
Ax=y, Bx=y, следовательно, А=В.
Под суммой двух операторов А и В понимают
третий оператор С, полученный в результате
действий каждого из операторов на
элементе х, принадлежащему к
и
суммирование результатов действий.
А+В=В+А; А+В+D=(A+B)+D=A+(B+D)
Произведением двух операторов называется оператор который получен в результате последовательно выполнения данных операторов, причем сначала действует тот оператор, который стоит ближе к элементу. A*Bx=A(Bx)
Если для любого х, принадлежащего
,
Ex=x, то Е –
единичный оператор.
Свойства произведения:
1. A*Ex=Ax=E*Ax 2.x=A(Ax) 3.A*B(C)x=A(BC)x=(AB)Cx
4. (A+B)Cx=ACx+BCx 5. Если A*A-1x= A-1*Ax=Ex=x, то A-1-обратный оператор.
8. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
А – линейный оператор. Ах=у, (х,у)
-
базис в
;
=
- новый базис.
Т – матрица перехода от старого базиса к новому.
АА’,
x
x’,
y
y’,
Ax’
y’
x=Tx’; y=Ty’.
Пусть
Ax=Atx’;
y=Atx’;
Ty’=ATx’;
y’=T-1ATx’;
A’x’=
T-1ATx’;
A’= T-1AT – формула перехода.
При переходе линейного оператора из
базиса в базис матрица линейного
оператора меняется, а определитель
остается прежним.
9.Собственные значения и собственные вектора линейных операторов:
Пусть
,
А- линейный оператор в
,
вектор
,
удовлетворяющий соотношению
,
называется собственным вектором, а
собственное число
-собственным
значением линейного оператора А.
Пусть
-
прямая, тогда любой вектор на этой прямой
является собственным.
В комплексном пространстве
всякий линейный оператор А имеет хотя
бы один собственный вектор.
Доказательство:
1.
2.
3. Пусть
4.
(*)
5.Пусть х- собственный
,
заменим
в (*)
(**)
(**)- однородная система линейных уравнений, всегда имеет тривиальное решение, а чтобы имела нетривиальное, необходимо, чтобы определитель системы = 0.
Пусть
-
корень уравнения n-ой
степени относительно
(***)
Подставим в систему (**)
-
собственный вектор
Для каждого собственного числа имеется
свой вектор.
10. Свойства собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
- характеристический многочлен А, а
следовательно, и собств.значен.А не
зависят т выбора базиса, а определяются
только самим оператором.
Собственный вектора оператора А, соответствуют различным собственным знчениям, линейно независ.
Если характеристический многочлен оператора А имеет n различных корней, то матрица А может быть приведена к диагональной форме.
Рассмотрим матрицу линейного оператора
А в базисе из собственных векторов, т.к.
все значения различны, то:
1. А – матрица линейного оператора в
диагональном виде.
- сумма диагональных элементов
- сумма главных миноров II
порядка
- определитель A
2. А – треугольная матрица, то собственными
числами будут числа, стоящие на диагонали
11.Квадратичные формы. Определение. Примеры.
К.ф. – многочлен второй степени,
относительно переменных
не содержит свободного члена и члена в
первой степени.
Числа
называются
коэффициентами квадратичной формы.
Если
- к.ф., тогда если мы умножаем каждую
переменную на действит. α
Примечание:
Квадратичная форма может быть записана в матричном виде:
=
Обозначим за х матричный столбец,
следовательно,
=xTAx
(A- матрица квадратичной
формы). Если при изменении базиса
координаты вектора х меняются, то есть
,
то к.ф.
может быть записана как к.ф. через
,
но с другими коэффициентами.
=
xTAx
х=Lx’ (L-матрица
перехода)
=(Lx’)TA(Lx’)=(x’)TLTALx’=(x’)TBx’
12. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
Если матрица квадратичной формы диагональна, то к.ф. имеет канонический вид.
Пусть f(х) - к.ф. в пространстве
,
тогда можно найти ортонормированный
базис, в котором эта к.ф. записывается
диагональной матрицей.
Доказательство: пусть
-
ортонормированный базис из собственных
векторов матрицы квадратичной формы
А.
<Аx,x>=<A
,
>=<
,
>=<
,
>=
+
=
Приведение квадратичной формы второго порядка к каноническому виду:
=
в
1) составим матрицу А: А=
2) находим корни характеристического уравнения:
=0
λ1,λ2 - корни
3) Находим
собственные вектора, соответствующие
числам λ1 и λ2.
,
Из них выбираем два вектора, ортогональные
между собой и единичн.
и
- базисные вектора.
4) Составим матрицу перехода:
={e1,m1},
={e2,m2}
S(матрица перехода)=
detS>0 (для сохранения взаимного ориент. новых векторов)
5) Переход к новому базису
=
=
Направление собственных векторов при образовании x’=Ax называют главным направлением квадратичной формы.