Ітераційні методи

Ітераційні методи встановлюють процедуру уточнення певного початкового наближення до розв'язку. При виконанні умов збіжності вони дозволяють досягти будь-якої точності просто повторенням ітерацій. Перевага цих методів у тому, що часто вони дозволяють досягти розв'язку з наперед заданою точністю швидше, а також розв'язувати більші системи рівнянь. Суть цих методі полягає в тому, щоб знайти нерухому точку матричного рівняння:

,

еквівалентного початковій системі лінійних алгебраїчних рівнянь. При ітерації  в правій частині рівняння заміняється, наприклад, у методі Якобі на наближення, знайдене на попередньому кроці:

.

Збіжність ітераційної процедури досягається вибором матриці , що залежить від задачі. Умови збіжності конкретні для кожного конктретного метода.

Серед ітераційних методів можна відзначити найпопулярніші:

• Метод Якобі

• Метод Зейделя

5. Постановка задачі числового інтегрування. Інтерполяційні формули.

Інтерполяційні формули, формули, що дають наближене вираження функції в = f ( x ) за допомогою інтерполяції, тобто через інтерполяційний многочлен Р _n ( х ) міри n , значення якого в заданих точках x ₀ , x ₁ ..., х _n збігаються з значеннями в ₀ , в₁ ..., у _n функції f в цих крапках. Многочлен Р _n ( х ) визначається єдиним чином, але залежно від завдання його зручно записувати різними по вигляду формулами.

Постановка задачі наближеного інтегрування функцій

Важливе значення на практиці мають числові методи обчислення інтегралів функцій

.

Задача числового інтегрування функцій полягає в обчисленні значення визначеного інтеграла на підставі ряду значень підінтегральної функції.

Формули для обчислення однократного інтеграла називаються квадратурними, а подвійного інтеграла – кубатурними.

Для визначеного інтеграла , де  – неперервна на відрізку , наближена рівність

, (51)

де  – деякі числа, – точки відрізку , називається квадратурною формулою, що визначається вагами  та вузлами .

Кажуть, що квадратурна формула є точною для багаточленів степеня , якщо при заміні  на довільний алгебраїчний багаточлен степеня наближена рівність (51) стає точною.

Звичайний шлях у числовому інтегруванні полягає в тому, що задану функцію  на відрізку  замінюють інтерполяційною або апроксимуючою функцією  простого вигляду (наприклад, поліномом), а потім наближено припускають:

.

Функція  має бути такою, щоб інтеграл  обчислювався безпосередньо.

Теорема (узагальнена теорема про середнє).

Нехай , причому , . Тоді існує така точка , що .

Доведення. Позначимо , .

Тоді, оскільки , справедлива подвійна нерівність: , ,

і, отже, .

Звідси, оскільки , , слідує існування такого числа с, що задовольняє подвійній нерівності: , для якого справедливо: 

Оскільки  – неперервна функція, то знайдеться така точка , в якій , що задовольняє умові теореми.

Теорему доведено.

Нехай для функції  відомі значення ,  у ()-й точках  відрізка .

Потрібно наближено знайти .

За даними значеннями функції у вузлах  можна побудувати інтерполяційний багаточлен, наприклад, Лагранжа:

,

причому .

Замінюючи функцію  багаточленом , отримаємо рівність:

, (52)

де – похибка квадратурної формули (52) або остаточний член.

Звідси, скориставшись виразом для багаточлена Лагранжа, отримаємо наближену квадратурну формулу:

, (53)

де , .

Якщо границі інтегрування  та  є вузлами інтерполяції, то квадратурна формула (53) називається квадратурною формулою „замкненого типу”, в іншому випадку – „відкритого типу”.

Для обчислення коефіцієнтів  зазначимо, що:

1) коефіцієнти  при даному розташуванні вузлів не залежать від вибору функції ;

2) для функції , що є багаточленом степеня  від , формула (53) є точною, оскільки .

Покладаючи  у формулі (53), отримаємо лінійну систему з -го рівняння:

де ,

з якої можна обчислити коефіцієнти .

Зазначимо, що при використанні цього методу не треба фактично будувати багаточлен Лагранжа.

14