Выборочные характеристики, несмещенные оценки, смещение

1. Пусть 001101100 – выборка из совокупности с теоретическим распределением Бернулли:

Вычислить выборочные математическое ожидание, дисперсию и выборочную медиану. Построить несмещенные оценки для параметрических функций p и .

2. Пусть 0, 1, 5, 3, 4, 3, 2, 3,4 –выборка из совокупности с теоретическим биномиальным распределением :

Вычислить выборочные математическое ожидание, дисперсию и выборочную медиану Построить несмещенную оценку для параметрических функций p и .

3. Пусть 0, 1, 5, 3, 4, 3, 2, 3,4 –выборка из совокупности с теоретическим распределением Пуассона :

Вычислить выборочные математическое ожидание, дисперсию и выборочную медиану Построить несмещенную оценку для параметрических функций λ и λ².

4. Исследовалось содержание углерода в единице продукта. Получена выборка объема 9, для которой Построить доверительный интервал для дисперсии доверительной вероятности 0.9.

Ответ: (10.32, 58.61).

5.Технология производства некоторого вещества дает в среднем 1000 кг вещества в сутки с с.к.о. среднего 80 кг. Новая технология дает в среднем 1100 кг вещества в сутки с тем же с.к.о. Можно ли считать, что новая технология обеспечивает повышение производительности при уровне значимости, равном 0.05.

Ответ: Нет.

6. Технология производства некоторого вещества дает в среднем 1000 кг вещества в сутки с с.к.о. среднего 80 кг. Новая технология дает в среднем 1100 кг вещества в сутки с тем же с.к.о. Можно ли считать, что новая технология обеспечивает повышение производительности при уровне значимости, равном 0.10.

Ответ: Нет.

7. При исследовании влияния температуры t на суточный ход хронометра ω получены результаты, приведенные в таблице.

ti	5.0	9.6	16.0	19.6	24.4	29.8	34.4
ωi	2.60	2.01	1.34	1.08	0.94	1.06	1.25

Считая справедливой квадратичную зависимость

ω = a₀+a₁(t-15)+a₂(t-15)²,найти функцию регрессии, т.е. оценить коэффициенты.

Ответ: a₀=1.404, a₁=-1.245, a₂=0.8741.

Список задач по теме 6

1. На окружности отмечено 5 точек. Процесс за каждую секунду переходит из текущей точки в одну из соседних с вероятностью ½. Построить граф переходных вероятностей и матрицу переходных вероятностей. Определить стационарное распределение цепи.

2. Идет сражение между тремя танками A,B, C. Вероятности попадания для них равны соответственно 2/3, 1/2 и 1/3. Танки стреляют одновременно, причем каждый танк стреляет в своего самого сильного противника. Пораженный танк выбывает из сражения. Состоянием считаем множество танков, которые еще действуют. Построить граф переходных вероятностей и матрицу переходных вероятностей.

3. Предположим, что частица движется по целым точкам от 1 до 5, каждую секунду передвигаясь вправо с вероятностью p и влево - с вероятностью q=1-p. Достигнув крайних состояний 1 и 5 частица остается там навсегда. Построить граф переходных вероятностей и матрицу переходных вероятностей. Произвести классификацию состояний.

4. Предположим, что частица движется по целым точкам от 1 до 5, каждую секунду передвигаясь вправо с вероятностью p и влево - с вероятностью q=1-p. Достигнув крайних состояний 1 и 5 частица отражается от них, переходя с вероятностью единица в соседнее состояние. Построить граф переходных вероятностей и матрицу переходных вероятностей. Произвести классификацию состояний.

5. Предположим, что частица движется по целым точкам от 1 до 5, каждую секунду передвигаясь вправо с вероятностью p и влево - с вероятностью q=1-p. Достигнув крайних состояний 1 и 5 частица переходит в состояние 3. Построить граф переходных вероятностей и матрицу переходных вероятностей. Произвести классификацию состояний.

6. Предположим, что частица движется по целым точкам от 1 до 5, каждую секунду передвигаясь вправо с вероятностью p и влево - с вероятностью q=1-p. Достигнув крайних состояний 1 и 5 частица с вероятностью ½ остается в нем и с вероятностью ½ переходит в соседнее состояние. Построить граф переходных вероятностей и матрицу переходных вероятностей. Произвести классификацию состояний.

7. Матрица переходных вероятностей имеет вид

0	0	0	1	0	0	0
0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	0	0	0
1/2	0	0	1/2	0	0	0
0	0	0	0	1	0	0
	0	0	0	0	0	1
0	1/2	0	0	0	1/2	0

Провести классификацию состояний цепи.

8. В некотором штате избиратель имеет право участвовать в первичных выборах другой партии только после того, как он в первичных выборах предыдущего года воздержался. Пусть s₁ означает, что он в текущем году голосует за демократов, s₂ – за республиканцев, s₃ – воздержался. Опыт показывает, что демократы воздерживаются с вероятностью ½, а республиканцы – с вероятностью ¼. Избиратель, который воздержался, с равной вероятностью голосует на следующих выборах за каждую из партий. Построить граф переходных вероятностей и матрицу переходных вероятностей. Произвести классификацию состояний.

9. В условиях предыдущей задачи в данном году ¼ избирателей голосовала за демократов, ½ - за республиканцев, остальные воздержались. Какую пропорцию следует ожидать на выборах следующего года?

10. Даны следующие вероятности перехода для Марковской цепи с бесконечным числом состояний:

Определить стационарное распределение и вероятности перехода за 2 шага.

13