2.6. Моделирование
В настоящее время имитационное моделирование – наиболее часто используемый метод анализа характеристик устройств обработки и передачи информации. В подавляющем большинстве случаев аналитический расчет характеристик более или менее сложных систем невозможен, поэтому моделирование работы системы с помощью компьютера – практически безальтернативный выход из положения.
В общем случае в распоряжении исследователя имеется математической описания изучаемой системы в виде модели ее элементов и модели функционирования системой. Внешняя среда, внешние устройства, потребители и источники информации, и т.п. при моделировании рассматриваются как элементы системы.
Модель элемента задается
набором параметров, полностью описывающим
текущее состояние элемента и правилом
(в общем случае вероятностным) перехода
элемента из текущего состояния в
следующее. Если через
,
,
обозначим состояние
-го
элемента в момент
,
то поведение элемента описывается
вероятностями переходов
для всех возможных пар
.
Напомним, что сами состояния могут быть
как скалярными так и векторными
величинами.
Состояние
системы в целом представляет собой
некоторую детерминированную функцию
состояний ее элементов:
.
В процессе моделирования в каждый момент
по известным состояниям элементов
формируется состояние системы
и вектор следующих состояний системы.
Таким образом, результатом моделирования
является последовательность
,
которая содержит полную информацию о
поведении системы. Требуемые показатели
надежности могут оцениваться
непосредственно в ходе моделирования,
либо статистическая обработка результатов
производится по окончании моделирования.
В описанной общей схеме
основным фактором, затрудняющим или
исключающим аналитическое получение
результатов, является функция
.
Эта функция на практике представляется
некоторым алгоритмом, а иногда и целым
программно-аппаратным комплексом.
Поэтому не удается использовать
стандартные методы теории вероятностей,
позволяющие вычислять вероятностные
характеристики функций по вероятностным
характеристикам аргументов.
Задача получения показателей надежности по результатам испытаний уже рассматривалась выше. Поэтому задача, которую осталось обсудить – задача моделирования работы одного элемента. Конкретнее, нужно научиться генерировать случайные события с заданным вероятностным описанием.
Во всех средствах
программирования имеется стандартный
датчик случайных чисел, формирующий
числа
,
равномерно распределенные в интервале
[0,1]. Для моделирования других законов
распределения нужно научиться формировать
другие распределения вероятностей из
равномерного на [0,1] распределения.
Начнем с дискретных распределений вероятностей.
Равновероятное распределение. Пусть
.
(2.36)
Такая случайная величина
принимает с равными вероятностями
значения из множества
.
Произвольное
распределение на конечном множестве.
Для произвольного
р.в.
построим кумулятивное распределение
,
где
,
,
Положим
,
если
.
(2.37)
В результате распределение
вероятностей на значениях
совпадает с
.
Для того чтобы получить
другие дискретные распределения
(геометрическое, биномиальное и пр.)
можно воспользоваться свойствами тех
моделей, в рамках которых данные
распределения появляются. Например,
если порождать двоичные величины {0,1} с
вероятностями
,
то количество попыток до первой единицы
будет иметь геометрическое распределение,
а число единиц в серии из
опытов – биномиальное распределение.
Недостаток таких способов – необходимость
многократного использования датчика
случайных чисел для получения одного
значения случайной величины. Альтернативный
подход основан на общем методе, называемом
методом обратной
функции, применяемом
для формирования непрерывных с.в. с
заданной функцией распределения.
Метод обратных функций.
Пусть
– требуемая функция распределения и
– обратная к ней. Для равномерно
распределенной на [0,1] с.в.
величина
(2.38)
имеет функцию распределения
.
Действительно,
,
где второй переход основан на монотонности функции распределения, а первый и третий – на определении функции распределения.
Благодаря методу обратных функций можно получить любое распределение, единственная трудность – в обращении функции распределения. Для некоторых распределений это непросто. С другой стороны, нет необходимости иметь обратную функцию в виде формулы. Можно численными методами построить достаточно точную кусочно-линейную или полиномиальную аппроксимацию обратной функции. Иногда можно воспользоваться специфическими свойствами распределения, чтобы успешно решить задачу. Рассмотрим такую возможность на примере нормального распределения.
Пусть требуется генерировать гауссовские с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Положим
,
где
независимы и равномерно распределены
на интервале [0,1]. Величину
,
имеющую нулевое математическое ожидание
и единичную дисперсию, можно считать
гауссовской с.в. в силу центральной
предельной теоремы.
Еще один метод находим в [Кнут, том 2 ]. Этот алгоритм формирует одновременно две независимые гауссовские с.в..
Алгоритм (метод полярных координат).
1. Генерируем две независимых
с.в.
равномерно распределенных на [0,1].
Преобразуем их в с.в.
,
равномерно распределенные на [–1,1] .
2. Присваиваем
3. Если
возвращаемся к шагу 1.
4. Присваиваем
,
Для получения одной пары величин требуется в среднем 1,36 раз повторить шаги 1–3.
Подводя итоги данного
параграфа, отметим, что с развитием
возможностей вычислительных средств
с одной стороны и с необходимостью
изучения все более сложных информационных
систем, с другой стороны, основная
вычислительная нагрузка в задаче
моделирования перемещается от задачи
генерирования хороших псевдослучайных
последовательностей к задаче имитации
работы самой системы (вычисления значений
системной функции
).
В связи с этим все большую актуальность
приобретают различные методы ускорения
моделирования, среди которых отметим
- выявление таких множеств состояний системы, для которых значение системной функции может быть указано без вычислений или вычислено с небольшой сложностью (например, все параметры системы близки к средним значениям и отказ системы заведомо невозможен);
- применения метода «расслоенной выборки», когда моделирование производится для более тяжелых условий эксплуатации, чем реальные условия, а оценки результатов взвешиваются с некоторыми коэффициентами, учитывающими реальную вероятность ситуаций, приводящих к отказам и сбоям в работе системы.
Для подробного изучения методов ускорения моделирования рекомендуем специализированные монографии и учебные пособия по данной тематике.
ОЦЕНКИ ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Добавить