2.5.2. Вычисление оценок надежности по производящим (характеристическим) функциям

Точный подсчет вероятностей больших уклонений бывает невозможен либо в силу сложности задачи, либо по причине отсутствия точных сведений о вероятностной модели. Поэтом часто пользуются оценками, верхними и нижними. Наиболее важными с практической точки зрения являются верхние оценки, гарантирующие, что вероятность неудачи не превосходит некоторого значения.

Рассмотрим дискретную случайную величину (с.в.) с распределением вероятностей . Предположим что все ее значения неотрицательны и при этом предположении оценим вероятность события для некоторого числа .

Имеем

Первое из двух неравенств основано на том, что в области суммирования . Второе неравенство справедливо потому, что, расширив область суммирования на все множество значений, мы добавили к сумме только неотрицательные слагаемые (все значения неотрицательны).

Введем обозначение . Полученный результат запишем в виде

. (2.30)

Ценность этой формулы состоит в том, что для оценки искомой вероятности достаточно знать только одну числовую характеристику с.в. – математическое ожидание.

Пусть теперь – произвольная (необязательно неотрицательная) с.в.. Для произвольного оценим вероятность отклонения с.в. от ее среднего значения на величину не меньшую чем . Положим . Для этой неотрицательной с.в., используя (2.30), получаем

=.

Результат запишем в виде

, (2.31)

где . Неравенство (2.31) называется неравенством Чебышева.

Рассмотрим теперь последовательность из независимых с. в. , , имеющих одинаковое математическое ожидание и одинаковую дисперсию . Нас интересует вероятность

отклонения среднего арифметического с.в. от их математического ожидания на величину не меньшую . Положим . Из свойств математического ожидания и дисперсии, принимая во внимание независимость с.в. , имеем

, .

Применив к с.в. неравенство Чебышева (2.31), получаем новое важное неравенство

– (2.32)

это неравенство Чебышева для суммы независимых случайных величин.

Правая часть неравенства убывает с ростом числа слагаемых . Следствием неравенства (2.32) является закон больших чисел: среднее арифметическое независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями равными и одинаковыми дисперсиями сходится по вероятности к математическому ожиданию .

В действительности, как мы скоро увидим, неравенство (2.32) – очень слабая оценка вероятности, записанной в левой части. На самом деле эта вероятность убывает с ростом экспоненциально (пропорционально , где ), то есть гораздо быстрее, чем . Удобство формулы (2.32) состоит в простоте ее доказательства и использования. Чтобы воспользоваться неравенством Чебышева достаточно знать только математическое ожидание и дисперсию элементов последовательности независимых с.в.

При известной производящей функции моментов можно получить более точные оценки следующим образом. Для произвольной с.в. (не обязательно неотрицательной) применим (2.30) к новой с.в. вида при некотором значении параметра . Получим

, (2.33)

где в правой части использовано обозначение для производящей функции моментов с.в. . Неравенство (2.33) имеет место при любых . Имеет смысл подобрать его таким образом, чтобы оценка была как можно точнее (правая часть как можно меньше). В результате имеем оценку

, (2.33)

называемую неравенством Чернова.

Распространим неравенство Чернова на суммы независимых с.в. с одинаковой производящей функцией моментов . Из (2.33) и свойств производящих функций после простых выкладок получаем

. (2.33)

Перепишем эту оценку в виде

(2.34)

.

Напомним, что через обозначается семиинвариантная производящая функция моментов. Из свойств семиинвариантной функции следует, что функция как функция аргумента вогнута (выпукла вверх, свойство 13), равна 0 при =0 (свойство 10) и имеет положительную производную в точке 0 при , поскольку в силу свойства 11

.

Типичный график функции показан на рис. 2.1. Как видно из рисунка, существует единственное значение параметра , на котором достигается максимум показателя экспоненты и это оптимизирующее значение положительно. Его можно найти, приравняв производную по нулю. Максимальное значение показателя экспоненты тоже всегда положительно (если выполнено условие ).

Рис.2.1. Показатель экспоненты неравенства Чернова

Окончательно неравенство Чернова запишем в виде

, (2.35)

где – единственное решение уравнения

.

Как уже было замечено, в правой части неравенства Чернова – экспоненциально убывающая функция числа слагаемых . Поэтому оно приводит к гораздо более точным оценкам нежели неравенства Чебышева, в котором правая часть убывала со скоростью .

Неравенство (2.35) дает неплохие результаты, если величина заметно превышает математическое ожидание . При более точные оценки дает гауссовское приближение для распределения вероятностей суммы независимых с.в.