2.5. Анализ надежности восстанавливаемой системы

Предположим, что известны распределение вероятностей безотказной работы устройства и распределение вероятностей времени его восстановления . Соответствующие случайные величины обозначим через и , а соответствующие последовательности наблюдаемых значений – и . В этом случае можно говорить о том, что распределение вероятности для – это распределение вероятностей времени работы до первого отказа, распределение вероятностей суммы + – распределение вероятностей до первого восстановления, распределение вероятностей суммы ++ – распределение вероятностей до второго отказа и т.д. Таким образом, при анализе систем с восстановлением мы сталкиваемся с необходимостью вычисления законов распределения сумм независимых случайных величин. Весьма продуктивными инструментами исследования таких случайных величин являются производящие и характеристические функции.

Отметим еще один аспект анализа надежности систем, затрагиваемый в данном параграфе. Дело в том, что сбои в работе систем – относительно редкие события. Технике оценивания малых вероятностей в теории вероятностей отводится особенное место. Считается, что редкие события вызываются существенным отклонением некоторых значений с.в. от их средних значений. Анализу таких ситуаций посвящается так называемая «Теория больших уклонений», которая в большой степени основана на применении аппарата производящих функций.

2.5.1. Производящие и характеристические функции

Как производящие, так и характеристические функции в равной степени применяются как к дискретным, так и непрерывным распределениям. И те и другие распределения применяются в теории надежности, но все же чаще используют непрерывные распределения. Поэтому в дальнейшем будем использовать терминологию, принятую для непрерывных распределений, хотя все выкладки и результаты в равной степени справедливы для дискретных распределений.

Рассмотрим с.в. с известным распределением вероятностей.

Производящей функцией моментов с.в. называется функция

.

Укажем важные свойства производящих функций

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Беря производные более высоких порядков, получим остальные начальные моменты с.в. Этим объясняется название производящей функции моментов. Продолжим перечисление свойств.

Свойство 4. Пусть . Производящая функция для равна

Свойство 5. Пусть и – независимые случайные величины с производящими функциями и . Производящая функция суммы равна

.

Последние свойства чрезвычайно важны. Свойство 4 позволяет найти производящую функцию некоторого распределения, если известна производящая функция нормированного распределения, с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Свойство 5 называют еще свойством свертки. Как известно, плотность распределения вероятностей суммы независимых с.в. есть свертка двух плотностей. По свойству 5, производящая функция суммы с.в. равна произведению их производящих функций, что упрощает вычисления, особенно если суммируется много с.в.

Пример. Производящая функция числа успехов в схеме Бернулли.

Рассмотрим сначала один опыт, имеющий два исхода, 0 и 1, вероятность единицы равна , вероятность нуля . Производящая функция такой с.в. равна

.

Согласно свойству свертки, производящая функция числа успехов (числа единиц) в серии из опытов равна

.

Мы уже знаем, что соответствующее распределение вероятностей записывается в виде биномиального распределения. Мы видим, что производящая функция имеет достаточно простую аналитическую форму, что делает ее удобной для исследования. В частности, из нее легко получить приближенные формулы, приведенные в параграфе 2.1.■

Пример. Производящие функции гауссовских с.в.

Пусть плотность распределения с. в. имеет вид

.

Это означает что речь идет о г.с.в с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением , и, соответственно, дисперсией . Вместо нее сначала рассмотрим нормированную г.с.в. с плотностью

Ей соответствует производящая функция

Из нормированной г.с.в можно получить г.с.в с параметрами и линейным преобразованием . Воспользовавшись свойством 4, получаем, что производящей функцией для с.в. с плотностью будет

. (2.26)

Производящей функцией суммы независимых одинаково распределенных г.с.в. с параметрами и согласно свойству 5 будет

Отсюда сразу же следует что сумма таких гауссовских величин – г.с.в с математическим ожиданием и дисперсией . В данном случае приведенный анализ методом производящих функций позволяет записать плотность распределения суммы случайных величин в явном виде. ■

Мы видим, что производящие функции удобны для получения производящих функций с.в., получаемых преобразованием других с.в. Но как использовать полученный результат? Как в общем виде построить плотность или распределение вероятностей с.в. по ее производящей функции? Ответ на эти вопросы отложим до изучения понятия характеристической функции.

Характеристической функцией случайной величины с плотностью распределения вероятностей называется функция вида

. (2.27)

Различие между производящей и характеристической функцией небольшое,

, (2.28)

но весьма принципиальное. Помимо перечисленных выше пяти свойств, которыми обладают обе функции, отметим те свойства, которые характерны только для производящей либо характеристической функции.

Свойство 6. Характеристическая функция представляет собой преобразование Фурье от плотности распределения.

Свойство 7. при всех .

Свойство 8. Производящая функция моментов – выпуклая (вниз) функция аргумента .

Свойство 9. По известной характеристической функции плотность распределения может быть найдена с помощью обратного преобразования Фурье

. (2.29)

Применяется также еще одна функция распределения вероятностей – семиинвариантная производящая функция моментов, определяемая соотношением

.

Ее основные свойства непосредственно вытекают из определения и свойств производящей функции моментов. В частности,

Свойство 10. .

Свойство 11.

Свойство 12.

Свойство 13. Семиинвариантная производящая функция моментов – выпуклая (вниз) функция аргумента .

Обращаем внимание на то, что вторая производная семиинваринантной функции порождает второй центральный (а не начальный, как производящая функция) момент с.в.

В таблице 2.3. представлены производящие функции для распределений, часто используемых в теории надежности.

Таблица 2.3. Производящие функции некоторых распределений вероятностей

Наименование распределения вероятностей	Плотность или распределение вероятностей	Производящая функция
Равномерное на интервале	,
Экспоненциальное	,
Рэлея (Вейбулла при )	,
Нормальное (гауссовское)
Гамма-распре-деление (Эрланга при целом )
Биномиальное	, ,
Геометрическое	, ,
Пуассоновское